证明：令a是A的属于特征值λ的特征向量，则Aa=λa.于是(A2-34+2E)a=(2-3入+2)a=0, 因此2-3入+2=0，得入=1或2.即A的特征值的重数为1. 于3红+2，d)为A的最小的多项式.因为f)=0,所以df于是d)的根关 例7.17，设p是数域F上n为线性空间V的一个线性变换，满足p2-3+2id=0,其中d为V的恒等变 换，证明：存在V的一组基使得在该记下的矩阵为对角矩阵 证明：取V的一组基1,2，·，am,p关于基a1,a2,·,an的矩阵为A,则42-34+2E=0. 上题知A相似于对角阵，即存在可逆矩阵P使得P-1AP为对角阵.令(3，品2·，A)=(@1,2,…,an)P 则1,品2，，Bn为V的一组基且关于它的矩阵为P-1AP,从而为对角阵。 例7.18设A是一个n阶矩阵且秩(A)=1 ()证明：A=aB,其中a,B为n维行向量 (②)若A的第 行和第 一列的元素全为1，求A及A10. (3)说明A相似于对角阵的充分必要条件并证明之， 例7.19，设1,2，…，an是数域P上得n为线性空间V的一个基，是由a1+a2+…+an生成的子空 间，={a1+k2a2+…+knanlk+2+…+kn=0,k∈P1≤i≤n}. (1)证明：2是V的子空间：（②）证明：V=⊕：(3)若V上的线性变换在1,2，·，am下的矩 a1 a2.03...dn a, a2..a 阵是A an-1 an a1 .an-2 ,证明：片与都是的不变子空间 证()任取a=1a1+k202+…+knan,月=ha+l22+…+lnan∈g,其中l+…+ln k1++kn=0k,l∈P,则ka+lB=(kk1+l)a+…+(kkn+ln)an,且(kk1+山)+…+(kkn+ln)= k(k1+…+km)++,+l)=0.因此ka+Be,故是V的子空间： (2)设aen,则a=a1+a2++an)=1m1+22+…+knam,其中1++kn=0,k,k∈P k.)o k-2)a2+ +k-kn)an=0,因此k =k-kn=0,即k-1十+k-kn=nk=0 于是 0,即a 0,故1n2={0. 对任意B∈V,则存在k1,…,n∈P使得B=101+22+…+knn,令=(k1+…+kn)/m, 则B=(@1+a2+…+an)+(1-k)a1+(2-ko)a2+…+(kn-)an且(1-a)+…+(kn-ko)=0, 从而k(a1+a2+…+an)∈，(k1-ko)a1+(2-ko)a2+…+(kn-k)an∈，故V=. (3)有顺设得 (1)=aio++...+a2on, p(a2）=a2a1+a1a2+.+a203,. 0(0n】=0m01+a-102+.··+0201 任取a=k(a1+a2+…+an)e,则p(a)=k(a)…+p(an】=k(a1++an)(a1+2+…+am)∈ :故K是2不变的： 令k1a1+ka2+…+knan E,则(a+…+kna)=k1(a)+…+kn(a)=k(a +km(ana1十an-1a2十 …+a2a)=(a1++an(k1a+…+kan)∈，故5t也 是口不变的， 例7.20令是数域F上n维线性空间V的一个线性变换且a2 =a,a(W)为的值域，a1(O)为的核.证 明： 第8页 y²: -α¥A·uAäλAï˛, KAα = λα. u¥(A2 − 3A + 2E)α = (λ 2 − 3λ + 2)α = 0, œdλ 2 − 3λ + 2 = 0, λ = 1½2. =AAä­Íè1. f(x) = x 2 − 3x + 2, d(x)èAÅıë™. œèf(A) = 0, §±d(x)|f(x), u¥d(x)äè¸ä, AÉquÈ . ~7.17, ϕ¥ÍçF˛nèÇ5òmV òáÇ5CÜ, ˜vϕ 2 − 3ϕ + 2id = 0, Ÿ•idèV ðC Ü, y²: 3V ò|ƒ¶ϕ3TPe› èÈ› . y²: V ò|ƒα1, α2, · · · , αn, ϕ'uƒα1, α2, · · · , αn› èA, KA2 − 3A + 2E = 0. ˛KAÉquÈ , =3å_› P¶P −1APèÈ . -(β1, β2, · · · , βn) = (α1, α2, · · · , αn)P, Kβ1, β2, · · · , βnèV ò|ƒÖϕ'uß› èP −1AP, l èÈ . ~7.18 A¥òán› Öù(A) = 1. (1) y²: A = α 0β,Ÿ•α, βènë1ï˛; (2) eA1ò1⁄1òÉè1, ¶A9A100 . (3) `²AÉquÈ ø©7á^áøy²É. ~7.19, α1, α2, · · · , αn¥ÍçP˛nèÇ5òmV òáƒ,V1¥dα1 + α2 + · · · + αn)§fò m, V2 = {k1α1 + k2α2 + · · · + knαn|k1 + k2 + · · · + kn = 0, ki ∈ P, 1 ≤ i ≤ n}. (1) y²:V2¥V fòm¶(2) y²: V = V1 ⊕ V2; (3) eV ˛Ç5CÜϕ3α1, α2, · · · , αne› ¥A =   a1 a2 a3 · · · an an a1 a2 · · · an−1 an−1 an a1 · · · an−2 . . . . . . . . . . . . . . . a2 a3 a4 · · · a1   ,y²:V1ÜV2—¥ϕÿCfòm. y(1) ?α = k1α1 + k2α2 + · · · + knαn, β = l1α1 + l2α2 + · · · + lnαn ∈ V2, Ÿ•l1 + · · · + ln = k1 + · · · + kn = 0, k, l ∈ P, Kkα + lβ = (kk1 + ll1)α1 + · · · + (kkn + lln)αn,Ö(kk1 + ll1) + · · · + (kkn + lln) = k(k1 + · · · + kn) + l(l1 + · · · + ln) = 0, œdkα + lβ ∈ V2, V2¥V fòm; (2) α ∈ V1∩V2,Kα = k(α1+α2+· · ·+αn) = k1α1+k2α2+· · ·+knαn, Ÿ•k1+· · ·+kn = 0, ki , k ∈ P. u¥(k−k1)α1+(k−k2)α2+· · ·+(k−kn)αn = 0, œdk−k1 = · · · = k−kn = 0, =k−k1+· · ·+k−kn = nk = 0, u¥k = 0, =α = 0,V1 ∩ V2 = {0}. È?øβ ∈ V , K3k1, · · · , kn ∈ P¶β = k1α1 + k2α2 + · · · + knαn, -k0 = (k1 + · · · + kn)/n, Kβ = k0(α1 +α2 +· · ·+αn) + (k1 −k0)α1 + (k2 −k0)α2 +· · ·+ (kn −k0)αnÖ(k1 −k0) +· · ·+ (kn −k0) = 0, l k0(α1 + α2 + · · · + αn) ∈ V1,(k1 − k0)α1 + (k2 − k0)α2 + · · · + (kn − k0)αn ∈ V2, V = V1 ⊕ V2. (3)kK ϕ(α1) = a1α1 + anα2 + · · · + a2αn, ϕ(α2) = a2α1 + a1α2 + · · · + a2α3, · · · ϕ(αn) = anα1 + an−1α2 + · · · + a2α1. ?α = k(α1+α2+· · ·+αn) ∈ V1, Kϕ(α) = k[ϕ(α1)· · ·+ϕ(αn)] = k(a1+· · ·+an)(α1+α2+· · ·+αn) ∈ V1; V1¥ϕÿC; -k1α1 + k2α2 + · · · + knαn ∈ V2, Kϕ(k1α1 + · · · + knαn) = k1ϕ(α1) + · · · + knϕ(αn) = k1(a1α1 + anα2 +· · · +a2αn) +· · · +kn(anα1 +an−1α2 +· · · +a2α1) = (a1 +· · · +an)(k1α1 +· · · +knαn) ∈ V2, V2è ¥ϕÿC. ~7.20 -σ¥ÍçF˛nëÇ5òmV òáÇ5CÜÖσ 2 = σ,σ(V )èσäç,σ −1 (0)èσÿ. y ²: 1 8 ê