T(a1)=0a1,T(a2）=入0a2,·,T(a.)=入0a. T(a+i)=@1+1a1+a2,+1a2+…+an,s+1 T(an)=+azna2++annan: 于是r在基a1,·,a,+1,,n下的矩阵为A- (E。A如）其中E,为阶单位阵，： 、0A2/ /a1+1…a1m 因此 an+1·ann/ IE-Al= (-)E -A12 =(A-Xo)"IAEn---A2l=(A-Ao)h(A,其中h() IAEn--Al.所以o在AE-A川中的重数之于是im。≤k 例7.12设f口)=（红-3）2,9()=工-1是实数域R上的两个多项式，定义R上线性空间的线性变 换g:o，头)=(2r+,x+2划，3，证明：R-kerf(o)©kerg(o). 例7.13设f),g)是实数域F上的两个多项式，m()-f,g是它们的首一的最小公倍式， 是F上线性空间V的线性变换，证明kerf(a)+kerg(a)=kcrm(a, 例7.14假若f,g都是n维线性空间V的线性变换，NU)表示f的核子空间，即N)={a∈Vfa)=0 证明：VUg)的维数≤NU)的维数+N(g)的维数 例7.l5设是n维线性空间V的线性变换，kerp=aeV(a)=0}为p的核，m=(ala∈V门 为心的像证明 (1)存在自然数r使得kerp=kerp+1,且对任意自然数ro,均有kerb”=kerr+n (2)存在自然数s使得m心”=Imw+1,且对任意自然数s0,均有1mp=1m心+0 (3)存在自然数k使得v=ker心由Imv. 证明：()对任意自然数，取a∈kerw,则w(a)=0,因此w+1(a)=(ew(a》=0,于是E ker+ 从而有ker C ker+.这样我们得到 因此，dimkerv≤dimker2≤…≤dimker≤dimker+1≤…. 因为ker中为V的子空间，所以dimkery≤dhmV=n,因此存在自然数r使得dimkery=dimker中r+l 由此可得对任意自然数ro,均有dimkert=dimker心r+ro.于是ker=ker+1=keT心r+ro. (②对任意自然数取a∈Im+,则存在B∈V使得 =+1(3)=(3,因此E Ime,于 22 是1m+11mw.这样我们得到m中 21m 因此，dimmw≥ 1≥….因为1mp*为v的子空间，所以0≤dimlm≤ dimV=n,因此存在自然数s使得dimIm=dimm心+1.由此可得对任意自然数so,均有dimIm= dimlm+o.于是Impr=Imr+l=Im+o. (3)令k=max{r.s}.则由1)和(2)得kerk=kerk=r+1=.·=U.Im=Imk+1=..=V. 令aeV,则p(a) =1m2，因此存在B∈V使得(a)=2().于是(a-心()=0 因此a-(∈ken， 是存在)eke使得a-()=,即a=()+,故=U+W 令a∈0nW,则由a∈W存在3∈V使得a=(),由a∈U得w(a)=0,于是(a)=2*()=0,这 样B∈kerp2k=kerw,因此a=*(B)=0.即UnW=0,于是V=U⊕W. 例7.16设A为n阶实方阵且A2-3A+2E=0,其中E为n阶单位阵，证明：A相似于对角阵」 第7页τ (α1) = λ0α1, τ (α2) = λ0α2,· · · , τ (αs) = λ0αs, τ (αs+1) = a1,s+1α1 + a2,s+1α2 + · · · + an,s+1αn · · · , · · · , · · · , τ (αn) = a1nα1 + a2nα2 + · · · + annαn, u¥τ3ƒα1, · · · , αs, αs+1, · · · , αne› èA = λ0Es A12 0 A22 ! , Ÿ•Esès¸† , A22 =   a1,s+1 · · · a1n . . . . . . an,s+1 · · · ann  . œd, |λE − A| =      (λ − λ0)Es −A12 0 λEn−s − A22      = (λ − λ0) s |λEn−s − A22| = (λ − λ0) sh(λ), Ÿ•h(λ) = |λEn−s − A22|. §±λ03|λE − A|•­Í≥ s, u¥dimVλ0 ≤ k. ~7.12 f(x) = (x − 3)2 , g(x) = x − 1¥¢ÍçR˛¸áıë™, ½¬R˛Ç5òmR3Ç5C Üσ: σ(x, y, z) = (2x + y, x + 2y, 3z), y²: R3 = kerf(σ) ⊕ kerg(σ). ~7.13 f(x), g(x)¥¢ÍçF˛¸áıë™, m(x) = [f(x), g(x)]¥ßǃòÅ˙™, σ ¥F ˛Ç5òmV Ç5CÜ, y²kerf(σ) + kerg(σ) = kerm(σ). ~7.14 bef, g—¥nëÇ5òmV Ç5CÜ,N(f)L´fÿfòm, =N(f) = {α ∈ V |f(α) = 0}. y²: N(fg)ëÍ≤ N(f)ëÍ+N(g)ëÍ. ~7.15 ψ¥nëÇ5òmV Ç5CÜ,kerϕ = {α ∈ V |ϕ(α) = 0} èψ ÿ,Imψ = {ψ(α)|α ∈ V } èψ îy²: (1) 3g,Ír¶kerψr = kerψr+1 , ÖÈ?øg,Ír0, ˛kkerψr = kerψr+r0 ; (2) 3g,Ís¶Imψs = Imψs+1 , ÖÈ?øg,Ís0, ˛kImψr = Imψs+s0 ; (3) 3g,Ík¶v = kerψk ⊕ Imψk . y²: (1) È?øg,Íl,α ∈ kerψl , Kψ l (α) = 0, œdψ l+1(α) = ψ(ψ l (α)) = 0, u¥α ∈ kerψl+1 , l kkerψl ⊆ kerψl+1 . ˘·Ç kerψ ⊆ kerψ2 ⊆ · · · ⊆ kerψl ⊆ kerψl+1 ⊆ · · · , œd, dimkerψ ≤ dimkerψ2 ≤ · · · ≤ dimkerψl ≤ dimkerψl+1 ≤ · · · . œèkerψlèV fòm, §±dimkerψl ≤ dimV = n, œd3g,Ír¶dimkerψr = dimkerψr+1 . ddåÈ?øg,Ír0, ˛kdimkerψr = dimkerψr+r0 . u¥kerψr = kerψr+1 = kerψr+r0 . (2) È?øg,Íl,α ∈ Imψl+1 , K3β ∈ V ¶α = ψ l+1(β) = ψ l (ψ(β)), œdα ∈ Imψl , u ¥Imψl+1 ⊆ Imψl+1 . ˘·ÇImψ ⊇ Imψ2 ⊇ · · · ⊇ Imψl ⊇ Imψl+1 ⊇ · · · , œd, dimImψ ≥ dimImψ2 ≥ · · · ≥ dimImψl ≥ dimImψl+1 ≥ · · · . œèImψkèV fòm, §±0 ≤ dimImψl ≤ dimV = n, œd3g,Ís¶dimImψs = dimImψs+1 . ddåÈ?øg,Ís0, ˛kdimImψs = dimImψs+s0 . u¥Imψr = Imψr+1 = Imψs+s0 . (3) -k = max{r, s}. Kd(1)⁄(2)kerψk = kerψk=r+1 = · · · = U, Imψk = Imψk+1 = · · · = W. -α ∈ V , Kψ k (α) ∈ Imψk = Imψ2k , œd3β ∈ V ¶ψ k (α) = ψ 2k (β),u¥ψ k (α − ψ k (β)) = 0, œdα − ψ k (β) ∈ kerψk , u¥3γ ∈ kerψk ¶α − ψ k (β) = γ, =α = ψ k (β) + γ, V = U + W; -α ∈ U ∩ W, Kdα ∈ W 3β ∈ V ¶α = ψ k (β), dα ∈ U ψ k (α) = 0, u¥ψ k (α) = ψ 2k (β) = 0, ˘ β ∈ kerψ2k = kerψk , œdα = ψ k (β) = 0, =U ∩ W = 0, u¥V = U ⊕ W. ~7.16 Aèn¢ê ÖA2 − 3A + 2E = 0,Ÿ•Eèn¸† , y²:AÉquÈ . 1 7 ê