460 (②)设V是数域F所有3维列向量构成的线性空间，A -3-50 定义映射p:X→AXX∈ -61 (1)是线性变换 (②)求p的核kerp和Imvp的维数 (3)求的特征值和特征向量： 证明：(1)任取X,Y∈V,k∈F,因为A(K+Y)=AX+A,A(kX)=k(AX),所以P是线性变换； (②)因为ker2={X∈VAX=0,所以kerP是线性方程组Ar=0的解空间，于是dimker2=3-r(4) 注意到A=-2,所以A可逆，因此r(A)=0,于是dimker=0.因为Lm+dimke =3,所以1m=3. =(1,0,0,2=(01,0以，63=(0,0,1y.则p在基61,2,3下的矩月 A的特征多项式AE-A川=(A-1)P(+2),于是A的特征值为1(2重)，-2，也就是p的特征值 当入=1时，解方程(E-A)z=0,得基础解析61=(-2,1,0y,52=(0,0,1y,于是得的属于1的特征向量 为k161+k25,k1,2∈F为任意常数： 当入=-2时，解方程(-2E-A)r=0,得基础解析=(1，-1,1以，于是得的属于-2的特征向量 为k3,k∈F为任意常数 311） 例7.9设A=242,计算A0 1 -11 例7.10设A,B为n阶方阵，证明AB与BA有相同的特征值 例7.11()设是数域F上n维线性空间V的线性变换，入是的一个特征值，其重数为k,八是属于A的 特征子空间，证明：dim≤k (②)设A是数域F上n阶方阵，A是A的一个特征值，其重数为k,S是线性方程组(AE一A)z=0的解空间， 证明：dmS≤k. 证明(1)人是n维线性空间V的子空间，所以，是有限维子空间，设dim。=s,取的一个 基n1,…,a,将共扩充为V的一个基a ,00g+1…,0则 第6页 (2) V ¥ÍçF§k3ëï˛§Ç5òm, A =   4 6 0 −3 −5 0 −3 −6 1  . ½¬Nϕ : X → AX ∀X ∈ V . (1) ϕ¥Ç5CÜ; (2) ¶ϕÿkerϕ⁄ImϕëÍ. (3) ¶ϕAä⁄Aï˛. y²:(1) ?X, Y ∈ V, k ∈ F, œèA(X + Y ) = AX + Ay, A(kX) = k(AX), §±ϕ¥Ç5CÜ; (2) œèkerϕ = {X ∈ V |AX = 0} , §±kerϕ¥Ç5êß|Ax = 0)òm, u¥dimkerϕ = 3−r(A). 5ø|A| = −2, §±Aå_, œdr(A) = 0, u¥dimkerϕ = 0. œèImϕ + dimkerϕ = 3, §±Imϕ = 3. (3) V ò|ƒε1 = (1, 0, 0)0 , ε2 = (0, 1, 0)0 , ε3 = (0, 0, 1)0 . Kϕ3ƒε1, ε2, ε3e› èA. AAıë™|λE − A| = (λ − 1)2 (λ + 2), u¥AAäè1(2­), −2, è“¥ϕAä. λ = 1û,)êß(E − A)x = 0,ƒ:)¤ξ1 = (−2, 1, 0)0 , ξ2 = (0, 0, 1)0 ,u¥ϕ·u1Aï˛ èk1ξ1 + k2ξ2, k1, k2 ∈ Fè?ø~Í; λ = −2û,)êß(−2E − A)x = 0,ƒ:)¤ξ3 = (1, −1, 1)0 , u¥ϕ·u−2Aï˛ èk3ξ3, k3 ∈ Fè?ø~Í. ~7.9 A =   3 1 1 2 4 2 −1 −1 1  , OéA10 . ~7.10 A, Bènê , y²ABÜBAkÉ”Aä. ~7.11 (1) ϕ¥ÍçF˛nëÇ5òmV Ç5CÜ, λ¥ϕòáAä,Ÿ­Íèk, Vλ¥·uλ Afòm, y²:dimVλ ≤ k. (2) A¥ÍçF˛nê , λ¥AòáAä,Ÿ­Íèk, S¥Ç5êß|(λE − A)x = 0)òm, y²:dimS ≤ k. y²(1) Vλ0¥nëÇ5òmV fòm, §±Vλ0 ¥kÅëfòm, dimVλ0 = s. Vλ0òá ƒα1, · · · , αs, ÚŸ*øèV òáƒα1, · · · , αs, αs+1, · · · , αn. K 1 6 ê