al=aaa4=a(任）pp-(日)(&)（日）广 56 =C,所以T(3,32)=(3,32)C=(31,B2) 56 -23-1 -2/3-1 ,而I2(1,2)=(,3)B= (a24 33Y -2/8-1 产（》=(a) (,)D.因为P-1BP= 12 (a1,a2)G,D,G即为所求的矩阵 例7.5设,0是线性变换，2=,02=女.证明 (1)如果(2+)2=0+6.那么00=0： (2)如果p0=,那么(+-p0)2=p+中-p0 证()因为2=,=,(0+)2=+0.由于(+}2=(++)=2+0++ 故+ +p0+0 +,即0+0=0.又20=0+p0=p0-9=p20 -2=p20+p 0=0,所以p0=0. (2)因为02=，02=4,0=g,所以(e+0-p)=2+中-p0 =p2+p-20y+p0+02-p02-p2o-p0+p0p0 =9+9p-9p0+0+p-p0-p0-p00+9p00 =+-p0+p0+中-p0-p0-p0+p0 =p+0-0 例7.6如果1,·,P,是线性空间V的s个两两不同的线性变换，那么在V中存在向量a,使a,…,9a也 两两不同 证明令%=ala∈Vp,a=防a(6,j=1,2,…,).因为p0=p0=0,0∈，故V非空又因 为1,2…，.两两不同，所以对于每两个9，而言，总存在一个向量B,使3≠98.故V是V的非空真 子集 设a,B∈V则a=pa,3=9B.于是p(a+)=9(a+).即a+Be又p,(ka)=kpa= 2ka),于是kaeV ,是V的真子空间. 四如果，都是V的非平凡 空间，在V 至少有一向量不属于所有的V%设a∈V,(低，j=1,2,,s, 则a≠9a(ij=1,2…,》即证：存在向量a,使p1a,P20, ·,p0两两不同. (2)如果，中有V的平凡子空间V。n,则Vn只能是零空间.对于这种Vo加，只要取a≠0，就有p:a≠ a,故这样的Vo。可以去掉，因而问题可归于1).即知也存在向量a使p1a,20,…,P,a两两不同。 例7.7设o1,…,p,是线性空间V的s个线性变换，若存在a∈V(1≤i≤s)使得(a)≠0，那么 在a∈V使得p.(a)≠0,1≤i≤s. 空间，所以kery:U ·ker。为V的真子集，于是存在 i≤8 第5页qT1(α1, α2) = (α1, α2)A = (α1, α2) 1 2 2 3 ! , P AP −1 = 0 3 1 −1 ! 1 2 2 3 ! 0 3 1 −1 !−1 = 5 6 −2/3 −1 ! = C1,§±T1(β1, β2) = (β1, β2)C1 = (β1, β2) 5 6 −2/3 −1 ! , T2(β1, β2) = (β1, β2)B = (β1, β2) 3 3 2 4 ! ; (T1+T2)(β1, β2) = (β1, β2) 5 6 −2/3 −1 ! + 3 3 2 4 !! = (β1, β2) 8 9 4/3 3 ! = (β1, β2)D. œèP −1BP = 0 3 1 −1 !−1 3 3 2 4 ! 0 3 1 −1 ! = [5 41 2] = C2, §±T2(α1, α2) = (α1, α2)C2 = (α1, α2) 5 4 1 2 ! , T1T2(α1, α2) = (α1, α2) 1 2 2 3 ! 5 4 1 2 !! = (α1, α2) 7 8 13 14 ! = (α1, α2)G, D, G=觶› . ~7.5 ϕ, φ¥Ç5CÜ,ϕ 2 = ϕ, φ2 = φ. y²: (1) XJ(ϕ + φ) 2 = ϕ + φ,@oϕφ = o; (2) XJϕφ = φϕ,@o(ϕ + φ − ϕφ) 2 = ϕ + φ − ϕφ y (1) œèϕ 2 = ϕ, φ2 = φ,(ϕ + φ) 2 = ϕ + φ. du(ϕ + φ) 2 = (ϕ + φ)(ϕ + φ) = ϕ 2 + ϕφ + φϕ + φ 2 , ϕ + φ = ϕ + ϕφ + φϕ + φ,=ϕφ + φϕ = o. q2ϕφ = ϕφ + ϕφ = ϕφ − φϕ = ϕ 2φ − φϕ2 = ϕ 2φ + ϕφϕ = ϕ(ϕφ + φϕ) = ϕo = o,§±ϕφ = o. (2) œèϕ 2 = ϕ, φ2 = φ, ϕφ = φϕ, §±(ϕ + φ − ϕφ) = ϕ + φ − ϕφ = ϕ 2 + φϕ − ϕφϕ + ϕφ + φ 2 − ϕφ2 − ϕ 2φ − φϕφ + ϕφϕφ = ϕ + ϕφ − ϕϕφ + ϕφ + φ − ϕφ − ϕφ − ϕφφ + ϕϕφφ = ϕ + ϕφ − ϕφ + ϕφ + φ − ϕφ − ϕφ − ϕφ + ϕφ = ϕ + φ − ϕφ ~7.6 XJϕ1, · · · , ϕs¥Ç5òmV sḸÿ”Ç5CÜ,@o3V •3ï˛α,¶ϕ1α, · · · , ϕsαè ¸¸ÿ”. y² -Vij = α|α ∈ V, ϕiα = ϕjα(i, j = 1, 2, · · · , s). œèϕi0 = ϕj0 = 0, 0 ∈ Vij ,Vijöò.qœ èϕ1, ϕ2, · · · , ϕs¸¸ÿ”,§±Èuz¸áϕi , ϕj Û,o3òáï˛β,¶ϕiβ 6= ϕjβ. Vij¥V öò˝ f8. α, β ∈ Vij ,Kϕiα = ϕjα, ϕiβ = ϕjβ. u¥ϕi(α + β) = ϕj (α + β).=α + β ∈ Vij . qϕi(kα) = kϕiα = kϕjα = ϕj (kα),u¥kα ∈ Vij . Vij¥V ˝fòm. (1) XJVij—¥V ö²Öfòm, 3V •ñkòï˛ÿ·u§kVij . α ∈ Vij (i, j = 1, 2, · · · , s), Kϕiα 6= ϕjα(i.j = 1, 2, · · · , s)). =y: 3ï˛α,¶ϕ1α, ϕ2α, · · · , ϕsα¸¸ÿ”. (2) XJVij•kV²ÖfòmVi0j0 ,KVi0j0êU¥"òm.Èu˘´Vi0j0 ,êáα 6= 0,“kϕiα 6= ϕjα, ˘Vi0j0å±K,œ ØKå8u1),=è3ï˛α¶ϕ1α, ϕ2α, · · · , ϕsα¸¸ÿ”. ~7.7 ϕ1, · · · , ϕs¥Ç5òmV sáÇ5CÜ, e3αi ∈ V (1 ≤ i ≤ s) ¶ϕi(αi) 6= 0, @o 3α ∈ V ¶ϕi(α) 6= 0, 1 ≤ i ≤ s. y² -kerϕièϕiÿ, œè3αi ∈ V (1 ≤ i ≤ s) ¶ϕi(αi) 6= 0, §±kerϕi(1 ≤ i ≤ s)èV ˝f òm, §±kerϕ1 ∪ · · · kerϕs èV ˝f8, u¥3α ∈ V ¶α 6∈ kerϕi(1 ≤ i ≤ s), =ϕi(α) 6= 0, 1 ≤ i ≤ s. ~7.8 (1) Rè¢Íç, σ : R2 → R2¥R2Ç5CÜ, σ(x, y) = (2x + y, x + 2y), ¶σAä⁄A ï˛. 1 5 ê