(11)若V是有限维线性空间.则V能分解为σ的若干个不变子空间的直和当且仅当σ在某组基下的矩阵 为准对角形矩阵。 (12)设线性变换σ的特征多项式f)=(A-)r…(a-入，)户，则V可分解为不变子空间的直和V= ⊕…⊕,其中={长∈V(G -Ae)r()=0 典型例题与解题技巧 例7.1设A为数域F上m×n矩阵，定义LA:Fm→Fm,xAc.证明：L是单射当且仅当A的列向量 组线性无关；LA是满射当且仅当A的行向量组线性无关： 例7.2设W与W2是数域P上线性空间V的子空间，且V=W1+W2对任意a∈V有唯一的分解式a= a1+a2,a1∈W1,a2∈W2,定义V的变换p:(a)=a2,证明p是V的一个线性变换. 证对任意a,B∈V,且a=a1+a2,B=B1+2,a1,B1∈，a2,32∈W2,又k∈P,则有e(a+)= T++B1三+=O)+ea)=oa+a=ka=ko故p是y 例7.3设V是由次数不超过4的一切实系数一元多项式组成的线性空间，对于V中任意多项式P(x)除 以x2-1得商式及余式分别为Q(e)及()，即 P)=Q((2-)+R(,)=0或)的次数<2.设是从V到V得一个映射使得(P》 R(c (1)证明，p是V的一个线性变换：(2)求o关于V的基1，工，2，x3,的矩阵 证明(1)设1()，2()∈V且p1()=9m(口)(x2-1)+n(c),2(a)=92()(x2-1)+r2(,其 中r1z),r2e)或为0或次数<2.于是(m(x)=r1(,(2(x》=r2().对任意实数1，k2,有k1n()+ kP2()=k19(a)+k((2-1)+[kr(国)+r2(e.因为r(,2)减为0或次数<2，所以kn 或次数<2.所以e(kpm回)+)=r+k2r2)=k1p1)+2p2(e》.故p是V的 (2因为1-0(x2-1)+1,x-0(x2-1)+x,x2=1(x2-1)+1,x2=x2-1)+x,x= (2+1)(r2-1)+1,所以(1)=1，p(e)=,(2)=1,p(x3)=五，()=1.从而(1，五，x2,x3,x)= 10101 10101 01010 01010 (1,工，x2,x3,) 00000 故关于V的基1，工，x2,x3,x4的矩阵为00000 00000 00000 00000 00000 基碳=儿高=g的阅珠足(：）求变衡新+石对A高的矩库行对o的矩床 第4页 (11) eV ¥kÅëÇ5òm,KV U©)èσeZáÿCfòmÜ⁄Ö=σ3,|ƒe› èOÈ/› . (12) Ç5CÜσAıë™f(λ) = (λ − λ1) r1 · · ·((λ − λs) rs , KV å©)èÿCfòmÜ⁄V = V1 ⊕ · · · ⊕ Vs, Ÿ•Vi = {ξ ∈ V |(σ − λiε) ri (ξ) = 0}. ;.~KÜ)KE| ~7.1 AèÍçF˛m × n› , ½¬LA : F n → F m, x 7→ Ax. y²: LA¥¸Ö=Aï˛ |Ç5Ã'; LA¥˜Ö=A1ï˛|Ç5Ã'; ~7.2 W1ÜW2¥ÍçP˛Ç5òmV fòm,ÖV = W1 u W2;È?øα ∈ V kçò©)™α = α1 + α2, α1 ∈ W1, α2 ∈ W2,½¬V CÜϕ : ϕ(α) = α2,y²ϕ¥V òáÇ5CÜ. y È?øα, β ∈ V,Öα = α1 + α2, β = β1 + β2, α1, β1 ∈, α2, β2 ∈ W2,qk ∈ P, Kkϕ(α + β) = ϕ(α1 + α2) + (β1 + β2) = α2 + β2 = ϕ(α) + ϕ(β), ϕ(kα) = ϕ(kα1 + kα2) = kα2 = kϕ(α). ϕ¥V ¥Ç5C Ü. ~7.3 V ¥dgÍÿáL4òÉ¢XÍòıë™|§Ç5òm,ÈuV •?øıë™P(x)ÿ ±x 2 − 1˚™9{™©OèQ(x)9R(x), = P(x) = Q(x)(x 2 − 1) + R(x), R(x) = 0½R(x)gÍ< 2. ϕ¥lV V òáN¶ϕ(P(x)) = R(x). (1) y², ϕ¥V òáÇ5CÜ; (2) ¶ϕ'uV ƒ1, x, x2 , x3 , x4› . y² (1) p1(x), p2(x) ∈ V Öp1(x) = q1(x)(x 2 − 1) + r1(x), p2(x) = q2(x)(x 2 − 1) + r2(x),Ÿ •r1(x), r2(x)½è0½gÍ< 2. u¥ϕ(p1(x)) = r1(x), ϕ(p2(x)) = r2(x). È?ø¢Ík1, k2, kk1p1(x) + k2p2(x) = [k1q1(x) +k2q2(x)](x 2 −1) + [k1r1(x) +k2r2(x)]. œèr1(x), r2(x)½è0½gÍ< 2, §±k1r1(x) + k2r2(x)½è0½gÍ< 2.§±ϕ(k1p1(x)+k2p2(x)) = k1r1(x)+k2r2(x) = k1ϕ(p1(x))+k2ϕ(p2(x)). ϕ¥V  òáÇ5CÜ; (2) œè1 = 0(x 2 − 1) + 1, x = 0(x 2 − 1) + x, x2 = 1(x 2 − 1) + 1, x3 = x(x 2 − 1) + x, x4 = (x 2 + 1)(x 2 − 1) + 1,§±ϕ(1) = 1, ϕ(x) = x, ϕ(x 2 ) = 1, ϕ(x 3 ) = x, ϕ(x 4 ) = 1. l ϕ(1, x, x2 , x3 , x4 ) = (1, x, x2 , x3 , x4 )   1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0   . ϕ'uV ƒ1, x, x2 , x3 , x4› è   1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0   . ~7.4 ëï˛òm•,Ç5CÜT1ȃ.α1 = (1, 2), α2 = (2, 1)› ¥ 1 2 2 3 ! , Ç5CÜT2È ƒ.β1 = (1, 1), β2 = (1, 2)› ¥ 3 3 2 4 ! , ¶CÜT1 + T2 Èβ1, β2› ,T1T2Èα1, α2› . )(β1, β2) = (α1, α2)P −1 ,KP = (β1, β2) −1 (α1, α2), §±P = 1 1 1 2 !−1 1 2 2 1 ! = 0 3 1 −1 ! . 1 4 ê