(四)（充分条件）A有n个互异特征值： (四（充分必要条件）)在数域P内，A有m个特征值（考虑重数）：（创）A的所有重特征值对应的线性 无关特征向量的个数等于特征值的重数，即对A的任意特征值入，若它的重数为k,则n-r(AE-A)= (③)n级矩阵A可相似于对角矩阵的计算 第一步求A的特征值和对应的线性无关特征向量.设入1,2，·，入，为A的所有互异特征值，其重数分 别为r1,r2,…ra,且n1+r2十+r。=n又设对应特征值入的个线性无关的特征向量为1,2，…，x,(位= 1.2.·.s. 第二步构造相似变换矩阵X=(1,12,…,11,2,…,2…,1,2，…，n则有X-1AX (④)设是数域P上n维线性空间V的一个线性变换，的矩阵可以在某一组基下为对角阵有下列条件 )(充分必要条件)。 个线性无关的特征向量 3)(充分必要条件))在数域P内，中有个特征值（考虑重数）：（的）对的任意特征值为入，则的特征 子空间dimW=入的重数. (5)求一组基是线性变换在该基下的矩阵为对角阵的计算 第 步取n维线性空间V的 1,2 ,求线性变换在该基下是矩阵A 第 求n级可逆矩阵X,使X-1AX=A为对角阵 第三步 由(a1,a2,…,an)=(e1,2,·,n)X求出V的另一组基a1,a2,…,an,则p在基下的矩阵为对 角阵A. 7.6线性变换的值域，核与不变子空间 设V是数域P上的线性空间，是V是一个线性变换，称集合(a)la∈V是o的像，也叫o的值域，表示 为a(V)或1mo.称集合{6(al5(a)=0)是a的核，表示为kcro或a-1(O).a(V的维数称为a的秩，-1(O)的维 数称为σ的零度 设W是V的一个子空间，如果a(W)cW,即aa)cW对任意a∈W,称w是V的不变子空间.也等 价于：o在W上的限制是W的一个线性变换，即 L(W) 数域P上线性空 V的线性变 换，以下诸条件成 (1)a(V)和a (0)是σ的不变子空间 (2)线性变换σ是单射的充要条件是o-1(0)={0} (3)若V是有限维线性空间，则σ单射当且仅当σ满射，当且仅当。将一组基变为一组基。 d若V是n维线性空间，a1,a ,an是V的一组基，a∈V且(a(a…,a(an》=( x)A on)4= (,…,.则aa)=(oa (an) )4X.令w =[AXIX E L(作，…，).则(W)=L(a(a…,(an)={a4…,an)YIY∈W,a的秩=r(A 因为a(a)=0当且仅当则AX=0,令Sa为AX=0的解空间，所以a-1(O)={(a1,·,an)XX∈SA}. (⑤)若V是n维线性空间，则：o的秩+σ的零度=n (6)若。是数乘变换则V的任一子空间是的不变子空间 (7)若，和x均为V的线性变换且T=Ta.则V八和x-10)都是x的不变子空间 (⑧)若W是线性变换和的不变子空间，则W一定 和r的不变子空间 (⑨)σ是可逆线性变换，则W是的不变子空间当且仅当W是。 的不变子空间 (10)若W,W是a的不变子空间，则W+W和WnW2都是a的不变子空间. 第3页(II) (ø©^á) Aknáp…Aä; (III) (ø©7á^á) (i) 3ÍçPS, A knáAä(ƒ­Í); (ii) A §k­AäÈAÇ5 Ã'Aï˛áÍuAä­Í, =ÈA?øAäλ, eß­Íèk, Kn − r(λE − A) = k. (3) n?› AåÉquÈ› Oé: 1ò⁄ ¶AAä⁄ÈAÇ5Ã'Aï˛.λ1, λ2, · · · , λsèA§kp…Aä,Ÿ­Í© Oèr1, r2, · · · rs,Ör1+r2+· · ·+rs = n.qÈAAäλiriáÇ5Ã'Aï˛èxi1, xi2, · · · , xiri (i = 1, 2, · · · , s). 1⁄ EÉqCÜ› X = (x11, x12, · · · , x1r1 , x21, x22, · · · , x2r2 , · · · , xs1, xs2, · · · , xsrs  ), KkX−1AX =  λ1Er1 λ2Er2 . . . λsErs   . (4) ϕ¥ÍçP˛nëÇ5òmV òáÇ5CÜ,ϕ› å±3,ò|ƒeèÈ ke^á: 1) (ø©7á^á) ϕknáÇ5Ã'Aï˛; 2) (ø©^á) ϕ3ÍçP•knáÿ”Aä; 3) (ø©7á^á) (i) 3ÍçPS, ϕ knáAä(ƒ­Í); (ii) Èϕ?øAäèλ,KϕA fòmdimVλ = λ ­Í. (5)¶ò|ƒ¥Ç5CÜ3Tƒe› èÈ Oé: 1ò⁄ nëÇ5òmV ò|ƒε1, ε2, · · · , εn,¶Ç5CÜϕ3Tƒe¥› A; 1⁄ ¶n?å_› X,¶X−1AX = AèÈ ; 1n⁄ d(a1, a2, · · · , an) = (ε1, ε2, · · · , εn)X¶—V ,ò|ƒa1, a2, · · · , an,Kϕ3ƒe› èÈ  A. 7.6 Ç5CÜäç,ÿÜÿCfòm V ¥ÍçP˛Ç5òm,σ¥V ¥òáÇ5CÜ,°8‹{δ(α)|α ∈ V }¥σî,èσäç,L´ èσ(V )½lmσ.°8‹{δ(α)|δ(α) = 0}¥σÿ, L´èker σ½σ −1 (0). σ(V ) ëÍ°èσù, σ −1 (0)ë Í°èσ"›. W¥V òáfòm, XJσ(W) ⊆ W, =σ(α) ⊆ W È?øα ∈ W, °W¥V ÿCfòm. è du:σ3W˛Åõ¥WòáÇ5CÜ, =σ|W ∈ L(W). 'uÍçP˛Ç5òmV Ç5CÜσ,±eÃ^᧷. (1) σ(V )⁄σ −1 (0)¥σÿCfòm. (2) Ç5CÜσ¥¸øá^á¥σ −1 (0) = {0}. (3) eV ¥kÅëÇ5òm,Kσ ¸Ö=σ ˜,Ö=σ Úò|ƒCèò|ƒ. (4) eV ¥nëÇ5òm,α1, α2, · · · , αn¥V ò|ƒ, α ∈ V Ö(σ(α1), · · · , σ(αn)) = (α1, · · · , αn)A, α = (α1, · · · , αn)X, A = (ξ1, · · · , ξn). Kσ(α) = (σ(α1), · · · , σ(αn)X = (α1, · · · , αn)AX. -W = {AX|X ∈ P n} = L(ξ1, · · · , ξn). Kσ(V ) = L(σ(α1), · · · , σ(αn) = {(α1, · · · , αn)Y |Y ∈ W}, σ ù= r(A); œèσ(α) = 0Ö=KAX = 0, -SAèAX = 0)òm, §±σ −1 (0) = {(α1, · · · , αn)X|X ∈ SA}. (5) eV ¥nëÇ5òm,K:σù+σ"›=n. (6) eσ¥Í¶CÜ,KV ?òfòm¥σÿCfòm. (7) eσ⁄τ˛èV Ç5CÜÖστ = τσ,Kτ (V )⁄τ −1 (0)—¥σÿCfòm. (8) eW¥Ç5CÜσ⁄τÿCfòm,KWò½σ + τ⁄στÿCfòm. (9) σ¥å_Ç5CÜ,KW¥σÿCfòmÖ=W¥σ −1ÿCfòm. (10) eW1, W2¥σÿCfòm,KW1 + W2⁄W1 ∩ W2—¥σÿCfòm. 1 3 ê