《数学分析》教案 第九章定积分 海南大学数学系 §3可积条件 教学目标：理解定积分的充分条件，必要条件和充要条件 教学内容：定积分的充分条件和必要条件：可积函数类 (1)基本要求：掌握定积分的第一、二充要条件. (②)较高要求：掌握定积分的第三充要条件. 教学建议： (①)理解定积分的第一、二充要条件是本节的重点，要求学生必须掌握。 (2)证明定积分的第一、二、三充要条件是本节的难点.对较好学生可要求掌握这些定理 的证明以及证明某些函数的不可积性. 教学过程： 一、可积的必要条件 定理9-2若函数f(x)在[a,b1上可积，则fx)在[a,b1上必有界。 证：（反证法）若函数f()在[血，]上无界，对于a,的任意分法 △：=a<<x<<x。=b 测至少存在一个子区间，不妨设为】，（在其上无界。对于任取的5=，注意到 Sa-2+2+26 V-+26 f()Ax,|-4 其中 -2区.于是对于任意取定的后1， k=l2.,-l1+L,”。因（冈在]上无界，对于任意给定M>0∈，使得 r於+A △ 《数学分析》教案 第九章 定积分 海南大学数学系 1 §3 可积条件 教学目标：理解定积分的充分条件，必要条件和充要条件． 教学内容：定积分的充分条件和必要条件；可积函数类 (1) 基本要求：掌握定积分的第一、二充要条件． (2) 较高要求：掌握定积分的第三充要条件． 教学建议： (1) 理解定积分的第一、二充要条件是本节的重点，要求学生必须掌握． (2) 证明定积分的第一、二、三充要条件是本节的难点．对较好学生可要求掌握这些定理 的证明以及证明某些函数的不可积性． 教学过程： 一、可积的必要条件 定理 9-2 若函数 f (x) 在 [a,b] 上可积，则 f (x) 在 [a,b] 上必有界。 证： （反证法） 若函数 f x( ) 在 a b,  上无界，对于 a b,  的任意分法 : 0 1 2 n x a x x x b =     = 则至少存在一个子区间，不妨设为 1 [ , ] i i x x − ， f x( ) 在其上无界。对于任取的 { }k   = ，注意到 ( ) 1 1 1 1 , ( ) ( ) ( ) ( ) n i n k k i i k k k k k k k i S f x f x f x f x      − = = = +  =  =  +  +      1 1 1 ( ) ( ( ) ( ) ) i n i i k k k k k k i f x f x f x    − = = +  −  +  =   f x A (i i ) − 其 中 1 1 1 ( ) ( ) i n k k k k k k i A f x f x   − = = + =  +    。于是对于任意取定的 1 [ , ] k k k  x x  − ， k i i n = − + 1,2, , 1, 1, , 。因 f x( ) 在 1 [ , ] k k x x − 上无界，对于任意给定 M  0 1 [ , ] i i i  x x   − ，使得 ( i) k M A f x  +  