《数学分析》教案 第九章定积分 海南大学数学系 可见对于，)的任意分法4,5=，使得 S(.5))-4-M 可见积分和S(△)无界，从而函数（冈在血上不可积，此与假设相矛盾。 例1、 证明函数 「1 f)=医 0<x≤1 0 x=0 在[0,1]上不可积. 运：将0.区间n等分，即取分法4会=012”，取=保，其中 5-.6:月-2，时.猫身 s(A)()s,= +5++1 1 n 2 m 万n V 1 (da)→0) 故P,5SA)不存在，从而在上不阿积. 注：该定理指出任何可积函数一定是有界，但要注意的是：有界函数不一定可积。 制2、亚司联有克猫酸a-化在印上有相不可款。 证：对于[0，的任意分法 △：x=0<x<x3<.<xm=1 根据有理数和无理数在数轴上的稠密性，在Q)的没一个子区间上既有有理数，也有无理数。《数学分析》教案 第九章 定积分 海南大学数学系 2 可见对于 a b,  的任意分法  ， { }k  =   ，使得 ( , ) ( i i i ) i M A S f x A x A M x   +    − =  − =  可见积分和 S (, ) 无界，从而函数 f x( ) 在 a b,  上不可积，此与假设相矛盾。 例 1、 证明函数 ( ) 1 0 f x x   =    0 1 0 x x   = 在[0，1]上不可积。 证 ： 将[0 ，1]区 间 n 等分 ，即取 分法 : , 0,1,2, , k k x k n n  = = ；取 { }k   = ，其中 1 4 1 1 0, n n    =      ， 1 , k k k k n n n    − =     ，k n = 2,3, , ，此时，相应的积分和 S (, ) ( ) 1 n k k k f x  = =  =  4 1 1 1 1 1 1 1 2 n n n n n n n + + + = 1 1 1 1 ( ) 2 3 n n n + + + + →  ( ( ) 0) d  → 故 ( ) ( ) 0 lim , d S   →  不存在，从而 f x( ) 在 0,1 上不可积。 注：该定理指出任何可积函数一定是有界，但要注意的是：有界函数不一定可积。 例 2、 证明狄利克雷函数    = 当 为无理数 当 为有理数 ， x x ， D x 0 1, ( ) 在 [0，1] 上有界但不可积。 证：对于 0,1 的任意分法 : 0 1 2 0 1 n x x x x =     = 根据有理数和无理数在数轴上的稠密性，在 0,1 的没一个子区间上既有有理数，也有无理数