《数学分析》教案 第九章定积分 海南大学数学系 若取5=传，且5是]上的有理数，则积分和 50A-2D6-241 若取5'=传份，且是小上的无理数，则积分和 sa)-2DAm-2-=0 k 从而肥，54)-1.思S4)-0,根据定文3知.D在上不可积. 二、可积的的充要条件 要判断一个函数是否可积，由定义，可直接考察积分和是否能无限接近某一常数，但由于 积分和的复杂性和那个常数不可预知，因此这是极其困难的。下面即将出的可积准则只与被积 函数本身有关，而不涉及定积分的值。 设T={△x,|i-l,2,n}为对[a,b]的任一分割。由fx)在[a,b]上有界知，它在每个△x,上 存在上、下确界：M,=pf),m,=ff),1=l2,.,n.作和ST)=立M,Ax, 0=2mA, 分别称为∫x)关于分割T的上和与下和（或称达布上和与达布下和，统称达布和）任给，∈△x, i-1,2.,n,显然有s(T)≤∑f(5)△x,≤ST)。 说明：与积分和相比，达布和只与分割T有关，而与点5，的取法无关。 定理9-3（可积准则）函数fx)在[a,b1上可积一对Vc>0,3T,使得S(T)-s(T)<6 设o,=M,-m,并称为f(x)在△x,上的振幅，有必要时记为o。则有 ST)-s(T=∑0，Ax,。 定理9-3” 函数f)在a,上可积台对vs>0,37,使得立0，A<E 《数学分析》教案 第九章 定积分 海南大学数学系 3 若取 { }k   = ，且 k  是 1 [ , ] k k x x − 上的有理数，则积分和 S ( = , ) ( ) 1 1 1 n n k k k k k D x x  = =    =  = 若取 { }k     = ，且 k   是 1 [ , ] k k x x − 上的无理数，则积分和 S ( = ,) ( ) 1 1 0 0 n n k k k k k D x x  = =     =  = 从而 ( ) ( ) 0 lim , 1 d S   →  = ， ( ) ( ) 0 lim , 0 d S   →  =  ，根据定义 3 知， D x( ) 在 0,1 上不可积。 二、 可积的的充要条件 要判断一个函数是否可积，由定义，可直接考察积分和是否能无限接近某一常数，但由于 积分和的复杂性和那个常数不可预知，因此这是极其困难的。下面即将出的可积准则只与被积 函数本身有关，而不涉及定积分的值。 设 T={ i x i = 1,2,  ,n }为对[ a ,b]的任一分割。由 f (x) 在[ a ,b]上有界知，它在每个 i x 上 存 在 上 、 下 确 界 ： i x x i M f x  = sup ( ) , i x x i m f x  = inf ( ) , i = 1,2,  , n . 作 和 = =  n i i i S T M x 1 ( ) ， = =  n i i i s T m x 1 ( ) ， 分别称为 f (x) 关于分割 T 的上和与下和（或称达布上和与达布下和，统称达布和）任给 i i   x ， i = 1,2 , n ，显然有 s(T) f ( ) x S(T)   i  i  。 说明：与积分和相比，达布和只与分割 T 有关，而与点 i  的取法无关。 定理 9-3（可积准则） 函数 f (x) 在 [a,b] 上可积  对   0，T ，使得 S(T) − s(T)   。 设 i = Mi − mi ，并称为 f (x) 在 i x 上的振幅，有必要时记为 f i 。则有 i n i i S T − s T =  x =1 ( ) ( )  。 定理 9- 3 函数 f (x) 在 [a,b] 上可积  对   0，T ，使得     = i n i i x 1