《数学分析》教案 第九章定积分 海南大学数学系 不等式S(T-s(T)<E或∑o,△x,<E的几何意义：若函数fx)在[a,]上可积，则下图中包 围曲线y=f(x)的一系列小矩形面积之和可以达到任意小，只要分割充分的细：反之亦然。 三、可积函数类 定理9-4若函数fx)为[a,b上的连续函数，则f(x)在[a,b]上可积。 证：根据在闭区间上连续函数性质，f)必在【a,)上一致连续，即Ve>0,36>0,对于 x,rea创，只要K-r<6,有 Vm-m水a 对于的任意分法△，只要dA)<6,注意到f∈C,55】,使得 m=5),M:=f八5)，从而有 8=M-%=-6a k=1,2.,n 所以 含aa5624=6 即 o,4=0 由定理93知，feR[a,。 如果把定理9.4的函数连续性条件稍微放宽一点，还有如下结论： 定理9-5若f(x)是区间[a,b]上只有有限个间断点的有界函数，则fx)在[a,)上可积。 证：由假设f(四在a,有界，即M>0,使训≤M,ea,个，从而f在a,上 的振幅=/x奶-赋/xy≤2M 又已知f()在[a月上有有限个间断点，不妨设有m个 间断点55。对于[a,的任意分法△：名=a<,<名<<<=b,在其分制成的 n个小区间氏儿，小KX,]中至多有2m个含有间断点，于是将振幅和分成两个部分《数学分析》教案 第九章 定积分 海南大学数学系 4 不等式 S(T) − s(T)   或     = i n i i x 1 的几何意义：若函数 f (x) 在 [a,b] 上可积，则下图中包 围曲线 y = f (x) 的一系列小矩形面积之和可以达到任意小，只要分割充分的细；反之亦然。 三、 可积函数类 定理 9-4 若函数 f (x) 为 [a,b] 上的连续函数，则 f (x) 在 [a,b] 上可积。 证：根据在闭区间上连续函数性质， f x( ) 必在 a b,  上一致连续，即    0 ，   0 ，对于   x x a b   , [ , ] ，只要 x x   −   ，有 f x f x ( ) ( ) b a    −  − 对于 a b,  的任意分法  ，只要 d( )    ，注意到 f x C x x ( ) ,   k k −1  ，      , , x x k k −1  ，使得 ( ) m f k k =  ， ( ) M f k k =  ，从而有 k k k k k M m f f ( ) ( ) b a     = − = −    − k n =1, 2, , 所以 1 1 n n k k k k k x x b a    = =    = −   即 ( ) 0 1 lim 0 n k k d k  x  → =   = 由定理 9- 3 知， f x R a b ( ) ,   。 如果把定理 9.4 的函数连续性条件稍微放宽一点，还有如下结论： 定理 9-5 若 f (x) 是区间 [a,b] 上只有有限个间断点的有界函数，则 f (x) 在 [a,b] 上可积。 证：由假设 f x( ) 在 a b,  有界，即   M 0 ，使 f x M ( ) ,   x a b [ , ] ，从而 f x( ) 在 a b,  上 的振幅 sup{ ( )} inf { ( )} 2 a x b a x b  f x f x M     = −  。又已知 f x( ) 在 a b,  上有有限个间断点，不妨设有 m 个 间断点 1 2 , , , m    。对于 a b,  的任意分法 : 0 1 2 1 n n x a x x x x b =      = − ，在其分割成的 n 个小区间 0 1 1 2 1 [ , ],[ , ], ,[ ] n n x x x x x x − 中至多有 2m 个含有间断点，于是将振幅和分成两个部分