《数学分析》教案】 第九章定积分 海南大学数学系 会aa=za+2ra 其中∑'0，△是相应于分法A含有间断点的那些小区间的振幅和，其项数至多为2m项。Σ'@，△ 是相应于分法△不含有间断点的那些小区间的振幅和。 因为aA的项数至多为2m项，放G>036>0,且68iM当d(a)<6时，有 za,a≤z2Ma≤2M2m<4mM3M-号 因为在Σ@4对应的那些小区间上（连续，从而必一致连续。故 E>06>0,当d(A)<6时，f)在这些小区间的振幅都小于2b-a可。于是 2a2002a≤0-号 取=min,d,对于[a的任意分法△，只要d△)<d,有 dn-Eodn+E'm 即 ∑aA=0 从而f)eR[a,. 下面我们再介绍一类简单的可积函数，即单调函数。 定理9-6若fx)是区间[a,b]上的单调函数，则f(x)在[a,b)上可积。 证：不妨设f)单调增加。若f(回=f⑥，则f(冈=f(@=6eCa,),从而由定 理4.fe,.若回)<10，G>038-7一a,对于满足<6的任毫分 法△，有 《数学分析》教案 第九章 定积分 海南大学数学系 5 1 n k k k k k k k    x x x =   =   +     其中 k k    x 是相应于分法  含有间断点的那些小区间的振幅和，其项数至多为 2m 项。 k k    x 是相应于分法  不含有间断点的那些小区间的振幅和。 因为 k k    x 的项数至多为 2m 项，故 0, 0, 1 1 1 ( ) 8 d mM             且 ，当 时，有 1 2 2 2 4 8 2 k k k x M x M m mM mM          =     因为在 k k    x 对应的那些小区间上 f x( ) 连 续 ， 从 而 必 一 致 连 续 。 故          0, 0, 2 2 当d ( ) 时， f x( ) 在这些小区间的振幅都小于 2( ) b a  − 。于是 ( ) 2( ) 2( ) 2( ) 2 k k k k x x x b a b a b a b a          =    − =     − − − 取 min{ , } 1 2    = ，对于 a b,  的任意分法  ，只要 d( )    ，有 1 2 2 n k k k k k k k x x x       =   =   +    + =   即 ( ) 0 1 lim 0 n k k d k  x  → =   = 从而 f x R a b ( ) ,   。 下面我们再介绍一类简单的可积函数，即单调函数。 定理 9-6 若 f (x) 是区间 [a,b] 上的单调函数，则 f (x) 在 [a,b] 上可积。 证： 不妨设 f x( ) 单调增加。若 f a f b ( ) = ( ) ，则 f x f a f b C a b ( ) = =  ( ) ( )  ,  ，从而由定 理 9.4， f x R a b ( ) ,    。若 f a f b ( )  ( )，   0 f b f a ( ) ( )   =  − ，对于满足 d( )    的任意分 法  ，有