线性代数重点难点30讲 (2)由E(i,j)A=B,得E(i,j)AB=E 因此 E 例3设矩阵 a1a1 a13 B 的ta+auan+aua3+a1 01已要 P2=010 101 则必有( (A)APIP2=B; (B)APPI=B: (C)P,P,A-B (D)P2PIA=B 解据矩阵的初等变换与初等矩阵之间的关系,因为P1=E(1,2),P2=E(3,1(1) 都是初等方阵,该选择题的四种结论右端都是矩阵B,而B是由矩阵A依次经初等行变换r +r1,r1→r2,即是对A左乘P2,然后再左乘P1所得,故应选择(C).若用矩阵乘法一 证,然后作出选择是费时费力的方法 例4设矩阵 a2 (3 b2 b3 A=b1 b2 b3 B=a1+3 Ca2+3c2a3+3c3 P 001 则有( (A)P2PIA= B (B)P,AP2=B (C)P,AP,=B (D)AP, P2= B 解因为P1=E(1,2),P2=E(2,3(3),而矩阵B是由矩阵A依次经初等行变换 r:“r2和r2+3r3,即先用初等方阵P1左乘A,然后再用初等方阵P2左乘所得.故应选 例5设n阶方阵A经过若干次初等变换后变为B,若A可逆,则( (A)|A=|B (B)|B|≠0; (C)|A||B1>0; (D)IB1可取任意值 解根据题意设B=PAQ,其中P、Q皆为n阶初等方阵 因为A可逆,初等方阵P、Q皆可逆,故A1≠0,P1≠0,1Q1≠0.只能推得: B1=P1A11Q1≠0,故应选(B)