矩阵的初等变换与初等矩阵 第7讲矩阵的初等变换 与初等矩阵 首先讨论矩阵的初等变换与初等矩阵的性质,然后讨论其两个重要应用 、初等变换与初等矩阵 1.初等变换:对矩阵施行以下三种变换称为矩阵的初等变换 (1)交换矩阵的两行(列)(称为矩阵的第一种初等变换); (2)以一个非零的数k乘矩阵的某一行(列)(称为矩阵的第二种初等变换); (3)把矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上(称为矩阵的第三种初等变换). 2.初等矩阵.对单位矩阵E施行第一种、第二种或第三种初等变换一次后得到的矩阵 分别叫第一种(记E(i,j))、第二种(记E(i(k))第三种(记E(i,j(k))初等矩阵 3.初等矩阵是可逆矩阵,且逆矩阵仍是初等矩阵: E(i,j)=E(i,j), E(i(k))-= E(i(k - )) E(i (k) =E(i,(-k)). 4.初等变换与初等矩阵的关系:对矩阵A左乘第一、二、三种初等矩阵,就相当于对A 的行进行一次同种的初等变换;对矩阵A右乘第一、二、三种初等矩阵,就相当于对A的列 进行一次同种的初等变换 例1设矩阵 123 A=456,P=010,Q=001 789 010 求PAQ 解因为P=E(1,3),Q=E(2,3)均为初等矩阵,而初等矩阵左乘矩阵A,相当于对 矩阵A施行初等行变换,右乘矩阵A,相当于对矩阵A施行初等列变换.所以,P=E(1,3) 左乘矩阵A相当于把A的第1,3行交换,P左乘A即相当于A的第1,3行交换20次,其 结果仍为A同理可知,Q2右乘A即把A的第2,3列交换21次,其结果为A的2,3列交换 置 1001「123 132 故 PAQ=0101456001 001789010798 例2设A是n阶可逆方阵,将A的第i行和第j行对换后得到的矩阵记为B. (1)证明B可逆,(2)求AB 证(1)因为将A的第i行和第j行交换位置相当于A左乘n阶初等矩阵E(i,j),所以 E(i,j)A=B 而1B|=|E(i,j)A|=1E(i,j)1A1=-1A1≠0.故B可逆