(i).设(a1,b1)和(a2,b2)是A的两个不同的构成区间.若(a1b1)和(a2b2)相交, 则必有一个区间的端点包含在另一个区间中.例如a2∈(a1,b)但a2≠A,这与 (a1,b1)cA矛盾.所以(a1,b1)和(a2,b2)不相交.这表明不同的构成区间互不相交.在A 的每个构成区间中选取一个有理数,则A的构成区间的全体与有理数的一个子集一一对应 所以A的构成区间只有有限个或可数个.于是A的构成区间的全体可以编号为 (a1,b,),i=1,…,n或i=1,2 i)我们有A=Ua,b)事实上,由于每个(a,)∈A,因此∪(a,b)=A 另一方面,由(1),对每个x∈A,存在一个构成区间(a1,b),使得x∈(a1,b)因此 x∈U(a,),所以Ac∪(a,b)这就证明A=U(a,b)■ Bore集开集和闭集是R"中的常见的集.但R”中有一些常见的集,它们既不是开集, 也不是闭集.例如,可数个开集的交不一定是开集,可数个闭集的并不一定是闭集.下面我 们要考虑的 Borel集就包含了这类集,并且 Borel集类对一切有限或可数并、交、余和差运 算都封闭 定义13由R中开集的全体所生成的a-代数称为R中的 Borel o-代数(或 Borel 集类),记为(R”).(R")中的集称为 Borel集 设a )∈R",b=(b1,…,bn)∈R",a1<b,i=1,…,n.称R"的子集 (a1,b1)x…×(an,bn)={(x1…xn):a1<x1<b,i=1,…n 为R”中的开方体,记为(a,b).类似可定义R中的其它类型的方体.在直线R和平面R2 中方体分别就是区间和矩形 定理14R"中所有的开集,闭集,有限集或可数集,各种类型的方体都是 Borel集 证明由定义即知开集是 Borel集.由于 Borel集类对余运算封闭,而闭集是开集的余集 故闭集是 Borel集.因为单点集{a}是闭集,所以单点集是 Borel集.由于有限集或可数集可 以表示成单点集的有限并或可数并,而 Borel集类对有限并或可数并封闭,所以有限集或可 数集是 Borel集.由于开方体是开集,闭方体是闭集,因此开方体和闭方体是 Borel集.往证 半开半闭方体是 Borel集.为简单计,不妨只考虑直线上的情形.由于等式 (a,b]=∩(ab+-)和Bocl集类对可数交运算的封闭性,即知半开半闭区间(ab]是 Borel集.类似可证明其它类型的半开半闭区间都是 Borel集■30 (ii). 设 ( , ) 1 1 a b 和 ( , ) 2 2 a b 是 A 的两个不同的构成区间. 若 ( , ) 1 1 a b 和 ( , ) 2 2 a b 相交, 则必有一个区间的端点包含在另一个区间中. 例如 ( , ). 2 1 1 a ∈ a b 但 , a2 ∉ A 这与 (a1 ,b1 ) ⊂ A 矛盾. 所以( , ) 1 1 a b 和( , ) 2 2 a b 不相交. 这表明不同的构成区间互不相交. 在 A 的每个构成区间中选取一个有理数, 则 A 的构成区间的全体与有理数的一个子集一一对应. 所以 A 的构成区间只有有限个或可数个. 于是 A 的构成区间的全体可以编号为 ( , ), ai bi i = 1,",n 或i = 1, 2, ". (iii). 我们有 ∪ i A ai bi = ( , ). 事实上,由于每个 (a ,b ) A, i i ⊂ 因此 ∪ i (ai ,bi) ⊂ A. 另一方面, 由 (i), 对每个 x ∈ A , 存在一个构成区间 ( , ), ai bi 使得 x ∈ ( , ). ai bi 因此 x ∈ ∪ i ai bi ( , ), 所以 ∪ i A ai bi ⊂ ( , ). 这就证明 ∪ i A ai bi = ( , ).■ Borel 集 开集和闭集是 n R 中的常见的集. 但 n R 中有一些常见的集, 它们既不是开集, 也不是闭集. 例如, 可数个开集的交不一定是开集, 可数个闭集的并不一定是闭集. 下面我 们要考虑的 Borel 集就包含了这类集, 并且 Borel 集类对一切有限或可数并、交、余和差运 算都封闭. 定义 13 由 n R 中开集的全体所生成的σ − 代数称为 n R 中的 Borel σ -代数(或 Borel 集类), 记为 ( ). n B R ( ) n B R 中的集称为 Borel 集. 设 ( , , ) a = a1 " an ∈ n R , ( , , ) b = b1 " bn ∈ n R , a b ,i 1, ,n. i < i = " 称 n R 的子集 ( , ) ( , ) {( , ) : , 1, , } a1 b1 ×"× an bn = x1 "xn ai < xi < bi i = " n 为 n R 中的开方体, 记为(a,b). 类似可定义 n R 中的其它类型的方体. 在直线 1 R 和平面 2 R 中方体分别就是区间和矩形. 定理 14 n R 中所有的开集, 闭集, 有限集或可数集, 各种类型的方体都是 Borel 集. 证明 由定义即知开集是 Borel 集. 由于Borel 集类对余运算封闭, 而闭集是开集的余集, 故闭集是 Borel 集. 因为单点集{a}是闭集, 所以单点集是 Borel 集. 由于有限集或可数集可 以表示成单点集的有限并或可数并, 而 Borel 集类对有限并或可数并封闭, 所以有限集或可 数集是 Borel 集. 由于开方体是开集, 闭方体是闭集, 因此开方体和闭方体是 Borel 集. 往证 半开半闭方体是 Borel 集 . 为简单计 , 不妨只考虑直线上的情形 . 由于等式 ∩ ∞ = = + 1 ) 1 ( , ] ( , n n a b a b 和 Borel 集类对可数交运算的封闭性, 即知半开半闭区间 (a,b] 是 Borel 集. 类似可证明其它类型的半开半闭区间都是 Borel 集. ■