特别地,由于有理数集是可数集,而无理数集是有理数集的余集,由定理14知道,有 理数集和无理数集都是 Borel集 设AcR".若A可表示为一列开集的交,则称A为G。型集.若A可以表示为一列闭 集的并,则称A为F型集.显然G型集和F型集都是Borl集 Cantor集下面我们介绍在举例时常常用到的一个重要的集_ Cantor((三分)集 例1( Cantor0集)记Co=D01将C0三等分,去掉中间的一个开区间(2、将剩下的 部分记为C,即C1=0121它是两个互不相交的闭区间的并、将C的每个闭区 间都三等分再去掉每个闭区间中间的开区间(G)和(G9)将剩下的部分记为C2,即 949999 121 2 7 993 红色部分控掉 图43 它是22个两个互不相交的闭区间的并.这样一直做下去,得到一列集{Cn}.其中C是2 个互不相交的闭区间的并每个闭区间的长为3最后令K=∩n,称之为cmo三分 集,简称为 Cantor集(图4-3) Cantor集具有如下的性质 (1). Cantor集是闭的疏朗集.由于每个Cn都是闭集,而K为一列闭集的交,故K是闭 集由于K是闭集,为证K是疏朗集,只需证明K°=.设x∈K.对任意E>0,取n 足够大,使得<E.由于Cn是2"个互不相交的长度为一的闭区间的并,故x的 邻域(x-E,x+)内必含有不属于C两的点于是(x-E,x+E)更加含有不属于K的点31 特别地, 由于有理数集是可数集, 而无理数集是有理数集的余集, 由定理 14 知道, 有 理数集和无理数集都是 Borel 集. 设 A ⊂ n R . 若 A 可表示为一列开集的交, 则称 A 为Gδ 型集. 若 A 可以表示为一列闭 集的并, 则称 A 为 Fσ 型集. 显然Gδ型集 和 Fσ型集都是 Borel 集. Cantor 集 下面我们介绍在举例时常常用到的一个重要的集—Cantor(三分)集. 例 1 (Cantor 集)记 [0,1]. C0 = 将C0 三等分, 去掉中间的一个开区间 ). 3 2 , 3 1 ( 将剩下的 部分记为 , C1 即 ,1]. 3 2 ] [ 3 1 [0, C1 = ∪ 它是两个互不相交的闭区间的并. 将 C1的每个闭区 间都三等分. 再去掉每个闭区间中间的开区间 ) 9 2 , 9 1 ( 和 ). 9 8 , 9 7 ( 将剩下的部分记为 , C2 即 , 1]. 9 8 ] [ 9 7 , 9 6 ] [ 9 3 , 9 2 ] [ 9 1 [0 , C2 = ∪ ∪ ∪ 图 4—3 它是 2 2 个两个互不相交的闭区间的并. 这样一直做下去, 得到一列集{ }. Cn 其中Cn 是 n 2 个互不相交的闭区间的并, 每个闭区间的长为 . 3 1 n 最后令 , 1 ∩ ∞ = = n K Cn 称之为 Cantor 三分 集, 简称为 Cantor 集(图 4—3). Cantor 集具有如下的性质: (1). Cantor 集是闭的疏朗集. 由于每个Cn 都是闭集, 而 K 为一列闭集的交, 故 K 是闭 集. 由于 K 是闭集, 为证 K 是疏朗集, 只需证明 = ∅. D K 设 x ∈ K . 对任意ε > 0, 取 n0 足够大, 使得 . 3 1 0 < ε n 由于 n0 C 是 0 2n 个互不相交的长度为 0 3 1 n 的闭区间的并, 故 x 的ε − 邻域 (x − ε, x + ε ) 内必含有不属于 n0 C 的点. 于是 (x − ε, x + ε ) 更加含有不属于 K 的点. 0 1 3 1 3 2 9 1 9 2 9 7 9 8