因此x不是K的内点这表明K°=.所以K是疏朗集 (2)在构造 Cantor集时从[0,中去掉的那些开区间的长度之和为1.事实上,在第n 次步骤得到Cn时,去掉了2个长度为的开区间.因此去掉的那些开区间的长度之和 (3) Cantor集具有连续基数c.由引理16和K的定义知道,对任意x∈K,x可以唯 的写成 3× 其中a1=0或2,i=1,2,…,并且有无限个a1=2.令 A={(a12a2…):a1=0或并且有无限个a1≠0}, 由§12定理11后面的注1,A具有连续基数c.再作映射 q:A→K, -(xHo(x=y2Xn 则是A到 Cantor集K的一一的到上的映射.由于A具有连续基数c,故K具有连续基数 小结本节由R"上自然的距离结构,导出了邻域,内点,聚点的定义,从而给出开集, 闭集的定义由开集生成一个O-代数即 Borel o-代数,进而引入了 Borel集.本节讨论了这 些集的性质和相互关系给出了直线开集的构造定理. Cantor集是一个重要的集它具有一些 特别的性质,在举反例时常常是有用的.学习本节的内容应充分利用几何图形的直观,以帮 助理解本节的内容 习题习题一,第29题一第43题32 因此 x 不是 K 的内点. 这表明 = ∅. D K 所以 K 是疏朗集. (2). 在构造 Cantor 集时从[0,1]中去掉的那些开区间的长度之和为 1. 事实上, 在第n 次步骤得到Cn 时, 去掉了 1 2n− 个长度为 n 3 1 的开区间. 因此去掉的那些开区间的长度之和 1. 3 2 3 1 3 2 1 1 1 1  =      ∑ = ∑ ∞ = − ∞ = − n n n n n (3). Cantor 集具有连续基数c. 由引理 16 和 K 的定义知道, 对任意 x ∈ K, x 可以唯 一的写成 , 3 3 3 2 2 1 = 1 + +"+ n n +" a a a x 其中 ai = 0 或2 , i = 1, 2,", 并且有无限个 = 2. ai 令 {( , , ) : 0 1, 0}, A = a1 a2 " ai = 或 并且有无限个ai ≠ 由§1.2 定理.11 后面的注 1, A 具有连续基数c. 再作映射 . 3 2 ( ) ( ) : , 1 ∑ ∞ = = = → n n n n x x x x A K ϕ ϕ 6 则ϕ 是 A 到 Cantor 集 K 的一一的到上的映射. 由于 A 具有连续基数c, 故 K 具有连续基数 c. 小 结 本节由 n R 上自然的距离结构, 导出了邻域, 内点, 聚点的定义, 从而给出开集, 闭集的定义. 由开集生成一个ο -代数即 Borel ο -代数, 进而引入了 Borel 集. 本节讨论了这 些集的性质和相互关系,给出了直线开集的构造定理. Cantor 集是一个重要的集.它具有一些 特别的性质, 在举反例时常常是有用的. 学习本节的内容应充分利用几何图形的直观, 以帮 助理解本节的内容. 习 题 习题一, 第 29 题—第 43 题