2010年2月 明志茂等：研制阶段系统可靠性增长的Bayesian评估与预测 151 对于小子样异总体统计问题的处理]一般采用 增长。前者称为非序贯可靠性增长。0 构造特定的模型（线性模型、非线性模型和统计模型 (2)每一试验阶段后，随着试验进行，失效不 等)来反映总体之间的差异，例如可靠性增长模型。 断暴露，修正出现的故障模式，产品可靠性不断提 现有Bayesian可靠性增长模型主要有Smith模型)、 高。设第k检测区间内可靠性为R,存在以下序化 Barlow-Scheuer模型)、Logistic模型4、折合因子 关系 法等。这些模型一般采用无信息先验或试验信息 0≤R≤R2≤…≤Rm≤RmH≤1 (1) 折合，仅能给出当前阶段试验产品的可靠性点估计， 基于以上假设，研究的目的是根据产品研制阶 无法预测最终产品可靠性。因此，选择什么样的先 段试验信息和序化约束模型(1)，结合类似产品的信 验分布能对异总体试验数据做出合理的描述，是应 息和专家经验，运用Bayesian方法客观合理地评估 用Bayesian方法进行可靠性增长分析的重要问题。 与预测产品的可靠性。从数学统计上看，这属于变 近年来，利用不同环境、不同总体条件下性能分布 动母体统计推断问题。 参数的序化关系模型对各阶段的试验信息进行融合 1,2基于新Dirichlet先验分布的可靠性增长模型 的方法69克服了上述缺点，适用面较广。在此基础 由模型假设可知，在第k检测区间内进行定时 上，LI等o指出文献[6]提出的次序Dirichlet分布 截尾试验得到的成败型数据，可靠度R服从参数为 存在缺陷，并建立了新的Dirichlet先验分布的 (n,4)的二项分布，似然函数 Bayesian可靠性增长模型，使得每个可靠性增长阶 段都可用两个参数描述阶段可靠性估计值和对估计 L(R;nk,5)= R(1-R)- (2) 值的确信程度。但是，新先验分布类中参数 %,心，，am的物理意义变得不明显，难以由专家经 当进行序贯可靠性增长时，似然函数 验直接给出，实际应用操作困难。而对于新研产品 L'(Ring,5t)=RR(1-R) (3) 所关心的可靠性增长预测问题，即新Dirichlet先验 则根据式(3)和式(4)则可预测任一阶段序贯可 分布能否实现预测未来阶段的可靠性问题，有待进 靠性增长试验时达到产品可靠性要求所需产品数。 一步深入研究 LI等io从各个检测区间内的一般Beta分布出 针对上述问题，推广了新Dirichlet先验分布的 发，以条件分布的形式构造适合可靠性增长模型的 应用。在研究先验分布参数确定方法的基础上，应 新的Dirichlet先验分布类。对第k个检测区间，构 用新Dirichlet先验分布，建立了产品研制阶段 造(R-,l)上的截尾Beta分布作为该检测区间内产 Bayesian可靠性增长模型，分析研究表明该模型可 品可靠度的分布，即 提供当前阶段的可靠性评估，又可预测未来研制阶 g(R IR-1)=gk(RIR-1ia,b)= 段产品可靠性。后验分布计算采用Gibbs抽样的 Markov chain Monte Carlo(MCMC)算法，解决了参 Ba,A)&-RP--R)nhan)④ 1-R-）tt · 数后验高维数值积分计算问题。通过实例证明了该 模型在可靠性应用中的直观性与有效性，给出了当 式(4)中第k个试验阶段的先验参数a:>0,b>0, 前阶段和后续试验阶段产品可靠性的后验均值和方 B(ak,b)为Beta函数，R=0,Rm+2=l。 差，分析了各阶段试验结果对最终产品可靠性估计 式(4)表示的条件分布是(R-,)上截尾Beta分 的影响。 布，性质与(0，)上的标准Beta分布性质类似2。 则R=(风，R2,,R,R)联合先验密度函数 1 贝叶斯可靠性增长评估与预测模型 π(Ra,)=g(RR) (5) 1.1模型假设 工程实践中，对一些大型复杂系统（顶级）的可 由式(2)和式(5)，利用Bayesian定理获得R的 靠性分析经常采用二项模型山。 后验分布密度的核 g(R|a,b)o (1)假设某型武器的研制经历了m个试验阶 段。每个试验阶段选取个产品进行试验，有s4个 1R(R-R严-I-Rh- (6) 成功(0≤5：≤)，得到产品的成败型试验数据。其 中，当每个阶段试验只有出现一个失败数据就停止 13 新先验分布类的可靠性评估与预测分析 试验，进行及时修复再进行试验，称为序贯可靠性 在可靠性增长分析中，通常关心的是当前阶段 万方数据2010年2月 明志茂等：研制阶段系统可靠性增长的Bayesian评估与预测 15l 对于小子样异总体统计问题的处理【l】一般采用 构造特定的模型(线性模型、非线性模型和统计模型 等)来反映总体之间的差异，例如可靠性增长模型。 现有Bayesian可靠性增长模型主要有Smith模型【2J、 Barlow．Scheuer模型【3】、Logistic模型【引、折合因子 法【5】等。这些模型一般采用无信息先验或试验信息 折合，仅能给出当前阶段试验产品的町靠性点估计， 无法预测最终产品可靠性。因此，选择什么样的先 验分布能对异总体试验数据做出合理的描述，是应 用Bayesian方法进行可靠性增长分析的重要问题。 近年来，利用不同环境、不同总体条件下性能分布 参数的序化关系模型对各阶段的试验信息进行融合 的方法睁9J克服了上述缺点，适用面较广。在此基础 上，LI等【l o】指出文献[6]提出的次序Dirichlet分布 存在缺陷，并建立了新的Dirichlet先验分布的 Bayesian可靠性增长模型，使得每个可靠性增长阶 段都可用两个参数描述阶段可靠性估计值和对估计 值的确信程度。但是，新先验分布类中参数 ％，％，…，am的物理意义变得不明显，难以由专家经 验直接给出，实际应用操作困难。而对于新研产品 所关心的可靠性增长预测问题，即新Dirichlet先验 分布能否实现预测未来阶段的可靠性问题，有待进 一步深入研究。 针对上述问题，推广了新Dirichlet先验分布的 应用。在研究先验分布参数确定方法的基础上，应 用新Dirichlet先验分布，建立了产品研制阶段 Bayesian町靠性增长模型，分析研究表明该模型可 提供当前阶段的可靠性评估，又可预测未来研制阶 段产品町靠性。后验分布计算采用Gibbs抽样的 Markov chain Monte Carlo(MCMC)算法，解决了参 数后验高维数值积分计算问题。通过实例证明了该 模型在可靠性应用中的直观性与有效性，给出了当 前阶段和后续试验阶段产品可靠性的后验均值和方 差，分析了各阶段试验结果对最终产品町靠性估计 的影响。 1 贝叶斯可靠性增长评估与预测模型 1．1模型假设 工程实践中，对一些大型复杂系统(项级)的可 靠性分析经常采用二项模型【111。 (1)假设某型武器的研制经历了m个试验阶 段。每个试验阶段选取％个产品进行试验，有以个 成功(0≤Sk≤n。)，得到产品的成败型试验数据。其 中，当每个阶段试验只有出现一个失败数据就停止 试验，进行及时修复再进行试验，称为序贯可靠性 增长。前者称为非序贯可靠性增长。【10】 (2)每一试验阶段后，随着试验进行，失效不 断暴露，修正出现的故障模式，产品可靠性彳i断提 高。设第k检测区间内可靠性为冠，存在以下序化 关系 0≤RI≤恐≤…≤如≤如+l≤l (1) 基于以上假设，研究的目的是根据产品研制阶 段试验信息和序化约束模型(1)，结合类似产品的信 息和专家经验，运用Bayesian方法客观合理地评估 与预测产品的可靠性。从数学统计上看，这属于变 动母体统计推断问题。 1．2基于新Dirichlet先验分布的可靠性增长模型 由模型假设可知，在第k检测区间内进行定时 截尾试验得到的成败型数据，可靠度R服从参数为 (仇，％)的二项分布，似然函数 L(Rk；nk，＆)=r I砧(1一R)”％ (2) ＼‰／ 当进行序贯可靠性增长时，似然函数 三’(R；‰，&)=砧叫(1一心) (3) 则根据式(3)和式(4)则町预测任一阶段序贯可 靠性增长试验时达到产品可靠性要求所需产品数。 LI等㈣从各个检测区间内的一般Beta分布出 发，以条件分布的形式构造适合可靠性增长模型的 新的Dirichlet先验分布类。对第k个检测区间，构 造(RI”1)上的截尾Beta分布作为该检测区间内产 品可靠度的分布，即 ＆(墨IRk一1)=gk(Rk IR—l；咏，瓯)= 筹(匙一Rk一。)咏一(1一心)峨_I(o,0(母)(4) 式(4)中第k个试验阶段的先验参数ak>0，反>0， B(aI，瓯)为Beta函数，民=o，如+2=l。 式(4)表示的条件分布是(最-1'1)上截尾Beta分 布，性质与(o，1)上的标准Beta分布性质类似121。 则R=(R1，恐，…，如小如)联合先验密度函数 ～一～ m—+—l 万(RIa，历=Ilgt(R I墨一1) (5) 由式(2)和式(5)，利用Bayesian定理获得尺的 后验分布密度的核 g(R Ia，6)OC 兀砰(也一B—1)靠。1(1一R)％+矗一哪+t-％+一 (6) 1．3新先验分布类的可靠性评估与预测分析 在可靠性增长分析中，通常关心的是当前阶段 万方数据