152 机械工程学报 第46卷第4期 和后续试验阶段的产品可靠性。图1是基于新 Dirichlet先验分布类的Bayesian可靠性评估与预测 4-+bB=a,60-R (a4+b)2(ak+b+1) (7 ax +by 过程。在试验过程中，基于新的Dirichlet先验分布 由以上的数学特征可知，新Dirichlet先验分布 类的后验分布密度，每得到一组试验数据，融合先 类的先验参数的物理意义不是十分明显。因此，要 验信息能实现对上一阶段修正后的产品可靠性的评 将新的先验分布应用于可靠性增长Bayesian评估和 定。例如，第k+1阶段有试验数据和先验信息，则 预测，必须解决如何根据先验信息确定先验参数 可按照式(6)推断出可靠性估计值凡1· 问题。 可靠度的先验信息通常以连续区间的形式给 R:边缘分布 试验数据 R:后验分布 出。例如，根据类似产品信息或专家经验，可给出 Bayesian 第k个检测区间内产品可靠度R∈(RL,R.)。本 更新 文首先以均匀分布描述产品的先验信息，然后以先 0 Rt-IRE 0-1R 验参数为变量，将均值作为约束，方差作为目标， 利用最优化方法求出与该均匀分布最为接近的Bta R+I边缘分布 无试验数据 预测 分布，作为产品的先验分布如图2所示。 Bayesian R+1 更新 后验 …Rk1评估 等效Beta分布 分布 0 R&RH 试验数据 均匀分布 图I基于新Dirichlet先验分布类的Bayesian评估与预测 4 同时，借助先验分布能估算出未来阶段的可靠 以 性，这是新Dirichlet先验分布类独特的特点决定： ①新Dirichlet先验分布类是将R-,作为边缘分布 的约束前提，即先验分布由a,b和R-共同构建， A1 00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0 其它Bayesian模型一般没有将前一阶段可靠性作为 可靠度R 条件分布：②先验分布(4)式中g(RIR)与 图2均匀分布与一般Bcta分布等效图 R,,R-2无关，因为第k-1阶段产品的质量已经 本文采用均匀分布U(RL,Rn)描述产品第k个 包含前k-2个阶段的质量和改进措施的全部信息， 检测区间内产品可靠度R∈(RL,R,H)的先验信息， 充分体现了构造(R,l)上的截尾Bta分布作为该 则均匀分布的均值和方差为 检测区间内产品可靠度的分布的特性。 RiL+Ri. 如果第k+1阶段缺少试验数据，则利用验前信 ER= (8) 2 息ak1,b和新Dirichlet先验分布类的(R,)上的 VR=(Riu-R) (9) 截尾Beta分布作为边缘分布，对k+1阶段进行可 12 靠性估计得到R,此时充分利用了新Dirichlet先 一般确定先验参数的方法是将式(T)表示Beta 验分布类上述两个特点，即利用验前信息ak,b1 分布的均值、方差与式(8)、（⑨）表示的均匀分布 确定边缘分布的形状，又利用(R,l)上截尾Beta分 U(RL,R.a)的均值和方差等价，通过解方程式(8) 布确定边缘分布的端点，从而利用边缘分布得到下 和(9)得到。但在实际中解方程有时是负解，不满足 一阶段的估计1。当第k+1阶段有试验数据时， 先验参数非负要求。通过研究，结合式(T)和式（⑧）、 (9),采用式(10)的最优化模型求解第k个试验阶段 按照式(6)推断的结果则会修正下一阶段可靠性。因 先验参数 此，根据第k+1阶段边缘分布则可实现对可靠性增 min(v:-VR )2 长预测，从而判断产品是否达到可靠性目标。 s.t.u=ERg a >0 b>0 (10) 2新Dirichlet先验分布参数确定方法 其中式()中R1由第k-1个阶段的条件均值41 代替。 给定R,R2,R1,由式(4)可求得R的条件均 如果有多个关于第k个检测区间内产品可靠度 值和条件方差 R的先验信息，例如一共给出个连续区间 万方数据152 机械工程学报 第46卷第4期 和后续试验阶段的产品可靠性。图1是基于新 Dirichlet先验分布类的Bayesian可靠性评估与预测 过程。在试验过程中，基于新的Diriehlet先验分布 类的后验分布密度，每得到一组试验数据，融合先 验信息能实现对上一阶段修正后的产品可靠性的评 定。例如，第k+1阶段有试验数据和先验信息，则 可按照式(6)推断出可靠性估计值墨“。 钆 瑙 韶 静 鞋 钆 毯 龆 锝 醛 ，“+1、 L一 也j 夤01 预测 R后k+验l…／：fk+l评估 后验… 评估 分布 图1 基于新Diriehlet先验分布类的Bayesian评估与预测 同时，借助先验分布能估算出未来阶段的可靠 性，这是新Diriehlet先验分布类独特的特点决定： ①新Diriehlet先验分布类是将凰～．作为边缘分布 的约束前提，即先验分布由％，瓯和＆一。共同构建， 其它Bayesian模型一般没有将前一阶段可靠性作为 条件分布：②先验分布(4)式中gk(Rt lR—1)与 蜀，…，风一：无关，因为第k—l阶段产品的质量已经 包含前k一2个阶段的质量和改进措施的全部信息， 充分体现了构造(R小1)上的截尾Beta分布作为该 检测区间内产品可靠度的分布的特性。 如果第k+1阶段缺少试验数据，则利用验前信 息％+l'kl和新Dirichlet先验分布类的(心，1)上的 截尾Beta分布作为边缘分布，对k+1阶段进行可 靠性估计得到定+t，此时充分利用了新Dirichlet先 验分布类上述两个特点，即利用验前信息ak+l,bk卅 确定边缘分布的形状，又利用(Rk，1)上截尾Beta分 布确定边缘分布的端点，从而利用边缘分布得到下 一阶段的估计扁“。当第k+l阶段有试验数据时， 按照式(6)推断的结果则会修正下一阶段可靠性。因 此，根据第k+1阶段边缘分布则可实现对可靠性增 长预测，从而判断产品是否达到可靠性目标。 2新Dirichlet先验分布参数确定方法 给定曷，岛，…，＆_l，由式(4)可求得R的条件均 值和条件方差 正=筹警虻=芒(ak糕(ak ∽ 口七+％ +％J‘ +％+lJ 由以上的数学特征可知，新Diriehlet先验分布 类的先验参数的物理意义不是十分明显。因此，要 将新的先验分布应用于可靠性增长Bayesian评估和 预测，必须解决如何根据先验信息确定先验参数 问题。 可靠度的先验信息通常以连续区间的形式给 出。例如，根据类似产品信息或专家经验，可给出 第k个检测区间内产品可靠度Rk∈(RkD皿．何)。本 文首先以均匀分布描述产品的先验信息，然后以先 验参数为变量，将均值作为约束，方差作为目标， 利用最优化方法求出与该均匀分布最为接近的Beta 分布，作为产品的先验分布如图2所示。 O O．I o．2 O．3 o．4 o．5 o．6 o．7 o．8 o．9 i．O 可靠度R 图2均匀分布与一般Beta分布等效图 本文采用均匀分布u(R∥R。Ⅳ)描述产品第七个 检测区间内产品可靠度R∈(RkDR。Ⅳ)的先验信息， 则均匀分布的均值和方差为 ERk：垒：墨±墨：丝 (8) 2 吼：坠学进 (9) 一般确定先验参数的方法是将式(7)表示Beta 分布的均值、方差与式(8)、(9)表示的均匀分布 u(墨DR。何)的均值和方差等价，通过解方程式(8) 和(9)得到。但在实际中解方程有时是负解，不满足 先验参数非负要求。通过研究，结合式(7)和式(8)、 (9)，采用式(10)的最优化模型求解第k个试验阶段 先验参数 miIl(虻一VRk)2 s．t．砖=ERk ak>o bk>o 00) 其中式(7)中心q由第七一1个阶段的条件均值正一。 代替。 如果有多个关于第k个检测区间内产品可靠度 R的先验信息，例如一共给出h个连续区间 布 ＼一 ||心一 布llJ丑， 一由 啪上札 分 ＼一 砬一 7 6 5 4 3 2 l 钆谢稍碍馨 万方数据