测试题 第一章实数集与函数 1.证明:n≥1时,有不等式 √m 然后利用它证明:当m≥2时,有 2.设S是非空数集,试给出数ξ是S的下界,但不是S的下确界的正面陈述 3.验证函数f(x)=xsmx,x∈R,即无上界又无下界 4.设f(x)是定义在R上的奇函数,g(x)是定义在R上的偶函数,试问f(g(x),g(f(x)是奇 函数还是偶函数? 5.证明: arctan+ arccot x=sgx(x≠0) 6.试问下列函数的图形关于哪一竖直轴线对称 bx+c;(2)y=√a+x+√b-x 7.设A,B为R中的非空数集,且满足下述条件 (1)对任何a∈A,b∈B有a<b (2)对任何E>0,存在x∈Ay∈B,使得Y-x<E 证明:supA=infB 1.设n为正整数 (1)利用二项式展开定理证明: 4)订(,其中订是乘记号 若n>1,证明 2<1 k! 2.设E={2<7为有理数}求s甲E,mE 3.设A,B为位于原点右方的非空数集 AB=Lx测试题 第一章 实数集与函数 （A） 1．证明： n ≥1 时，有不等式 2( 1) 1 2( +1 − )   n − n − n n n . 然后利用它证明：当 m ≥2 时，有 2 ) 1 2( 2) 1 m n m m n −   = . 2．设 S 是非空数集，试给出数 是S的下界 ，但不是 S 的下确界的正面陈述. 3．验证函数 f (x) = xsin x, xR ，即无上界又无下界. 4．设 f (x) 是定义在 R 上的奇函数， g(x) 是定义在 R 上的偶函数，试问 f (g(x)), g( f (x)) 是奇 函数还是偶函数？ 5．证明： sgn ( 0) 2 arctanx + arccot x = x x   . 6．试问下列函数的图形关于哪一竖直轴线对称： （1） y = ax + bx + c 2 ；（2） y = a + x + b − x . 7．设 A，B 为 R 中的非空数集，且满足下述条件： （1）对任何 aA,bB 有 a  b ； （2）对任何   0 ，存在 x A, yB ，使得 Y − x   . 证明： sup A = inf B. （B） 1．设 n 为正整数. （1）利用二项式展开定理证明： = − =              = + −      + n k k r n n r n 1 k 1 0 1 ! 1 1 1 1  ，其中  1 0 − = k r 是连乘记号. （2）若 n 1 ，证明：  =   +        + n k n n 1 k 3 ! 1 1 1 2 1 2．设 E rr 7,r为有理数 2 =  ，求 sup E ，inf E 3．设 A，B 为位于原点右方的非空数集， AB = xy x A, yB