Lecture Notes on Wavelets, Chapter 2, by D Q. Dai, 2003 f()bu<+∞对vk≤p 因此f()(t)连续,有界 推论 )若f(u)≤K/(1+kP++)(e>0),则f∈CP, 2)若supp∫紧致,则f∈C∞ 更一般的结论是 Sobolev嵌入定理 2测不准原理 量子力学中,波函数∫∈D2(R描述一维粒子的状态。在位置t的概率密度为m=f(t)2.相 应的在处的矩密度是amr(a) 粒子的平均位置是 iP/4o(期望值) 平均矩 相应的方差值为 f|2 (t-)2|f(t)2at 大的σ度量自由粒子位置的不确定性,大的σ度量自由粒子矩量的不确定性 定理6( Heisenberg测不准原理) 且等号成立,当且仅当 f(t)=ae(-b-),(v,5,a,b)∈R2×C2Lecture Notes on Wavelets, Chapter 2, by D.Q. Dai,2003 5 ¯ ¯f (k) (t) ¯ ¯ ≤ 1 2π Z ¯ ¯ ¯ ˆf(ω) ¯ ¯ ¯ |ω| k dω < +∞ 对∀k ≤ p 因此f (k) (t)连续，有界. 推论： 1）若| ˆf(ω)| ≤ K/(1 + |ω| p+1+² )(² > 0)，则f ∈ C p , 2）若supp ∧ f紧致，则f ∈ C ∞. 更一般的结论是Sobolev嵌入定理。 2 测不准原理 量子力学中，波函数f ∈ L 2 (R)描述一维粒子的状态。在位置t的概率密度为 1 kfk 2 |f(t)| 2。相 应的在ω处的矩密度是 1 2πkfk 2 ¯ ¯ ¯ ¯ ∧ f(ω) ¯ ¯ ¯ ¯ 2 粒子的平均位置是： u = 1 kfk 2 Z +∞ −∞ t|f(t)| 2 dt（期望值） 平均矩: ξ = 1 2π kfk 2 Z +∞ −∞ ω ¯ ¯ ¯ ˆf(ω) ¯ ¯ ¯ 2 dω 相应的方差值为 (σt) 2 = 1 kfk 2 Z +∞ −∞ (t − u) 2 |f(t)| 2 dt (σω) 2 = 1 2π kfk 2 Z∞ −∞ (ω − ξ) 2 ¯ ¯ ¯ ˆf(ω) ¯ ¯ ¯ 2 dω 大的σt度量自由粒子位置的不确定性, 大的σω度量自由粒子矩量的不确定性. 定理6（Heisenberg测不准原理）: σ 2 t σ 2 ω ≥ 1/4 且等号成立，当且仅当 f(t) = aeiξt−b(t−u) 2 ,(u, ξ, a, b) ∈ R 2 × C 2