Lecture Notes on Wavelets, Chapter 2, by D Q. Dai,2003 证:(只证√f()→0的情形)若f的平均时、频位置是u和,则ef(t+u)相应的平 均时、频位置都是0。因此我们设u=5=0.由F(f(t)=iuf(u)与 Plancherel公式,以及 由 Schwarz不等式 oro=2*/()r dt s f(uo) du in tf(t)f(tdt)2 ≥mU厂U((0)+r()f(0)d2 MU(()2 If[ 2( f()2) j2 [∫(f(t)|)a2 1/4. 为得到等式,在第三步应用 Schwarz不等式时,必须等号成立。因而∈C使得 f'(t)=-2btf(t) 由此得 此时在后面的不等式中也获得等式 下面的定理表明我们不能构造在时一频二域内同时有紧支集的函数。更一般地有 定理7:设f()≠0有紧支集,则f(u)不能在任一区间上为0。类似地,若f(u)≠0有紧支 集,则f()不能在任一区间上为0 证:仅证前一结论。设∫有含于b,列的紧支集,则 f(t) f(o 若f(1)=0,vt∈[e,d,在=生处求m次导数,得 0=/)b=0 又对任t∈R,展开eu(-t0),得 f(t)=2 bf(w)ei ,f(u) 这与∫≠0矛盾。Lecture Notes on Wavelets, Chapter 2, by D.Q. Dai,2003 6 证：（只证√ tf(t) → 0的情形）若f 的平均时、频位置是u和ξ，则e −iξtf(t + u)相应的平 均时、频位置都是0。因此我们设u = ξ=0. 由F(f 0 (t)) = iω ˆf(ω)与Plancherel公式, 以及 由Schwarz不等式 σ 2 t σ 2 ω = 1 2πkfk 4 R |tf(t)| 2 dt R ¯ ¯ ¯ ω ˆf(ω) ¯ ¯ ¯ 2 dω = 1 kfk 4 R |tf(t)| 2 dt R |f 0 (t)| 2 dt ≥ 1 kfk 4 ( R ¯ ¯ ¯tf0 (t)f(t) ¯ ¯ ¯ dt) 2 ≥ 1 kfk 4 [ R t 2 [f 0 (t)f(t) + f 0 (t)f(t)dt] 2 = 1 kfk 4 [ R t 2 (|f(t)| 2 ) 0 ]dt] 2 = 1 kfk 4 [ R t 2 (|f(t)| 2 ) 0 dt] 2 = 1 4kfk 4 [ R (|f(t)| 2 )dt] 2 = 1/4. 为得到等式，在第三步应用Schwarz不等式时，必须等号成立。因而∃b ∈ C使得 f 0 (t) = −2btf(t). 由此得 f(t) = ae−bt2 , a ∈ C. 此时在后面的不等式中也获得等式. 下面的定理表明我们不能构造在时一频二域内同时有紧支集的函数。更一般地有 定理7: 设f(t) 6= 0有紧支集，则 ˆf(ω)不能在任一区间上为0。类似地，若 ˆf(ω) 6= 0有紧支 集，则f(t)不能在任一区间上为0。 证：仅证前一结论。设 ˆf有含于[−b, b]的紧支集，则 f(t) = 1 2π Z b −b ˆf(ω)e iωtdω. 若f(t) = 0, ∀t ∈ [c, d]，在t0 = c+d 2 处求m次导数，得 f (m) (t) = 1 2π Z b −b ˆf(ω)(iω) me iωt0 dω = 0 又对任t ∈ R，展开e iω(t−t0)，得 f(t) = 1 2π R b −b ˆf(ω)e iω(t−t0) e iωt0 dω = 1 2π P m [i(t−t0)]m m! R b −b ˆf(ω)ω me iωt0 dω = 0 这与f 6= 0矛盾