第六章，线性空间 一，基本知识点 6.1映射设M与'是两个非空集合，如果对M中每个元素a,按照某一法则g都有M'中一个确定的 元素a与之对应，则称a为集合M到r的一个映射.如果M中的元素a通过映射a与M中的元素d对应，就 记为a(a)=d,此时称a'为a在映射a下的像，称a为d在映射a下的原像 映射a(M)CM',若a(M M',映射o就称为满射或映上的.若a1≠a2一a1)≠a2小.则称o为单 射或1一1的.若σ既是单射又是满射，则称。为双射或1-1对应. 6.2线性空间设V是一个非空集合，P是一个数域在集合V的元素之间定义了称为加法的运算，在数 域P与V的元素之间定义了称为数乘的运算.如果对于任意a,B∈V都有a+B∈V,又对任意k∈P和a∈ V,都有aeV,且加法与数乘运算满足如下八条规则（对任意a,B,y∈V和k,1∈P: 110+B=B40 2)0+3别+= a+(3+) 存在零元素0EV,使 +0=a (4)存在a的负元素B∈V,使a+B=0: (5)1a=a: (6)k(la)=(kl0a: 7k+八0=k0+la 6.3维数和基设V是数域P上的线性空间.如果V中有n个元素a 更多日的钱性无关的元素测除是，线空的数记为 …,an线性无关，但v中没有 称1,2，…，an是V的一组基 设a∈V,则称a1,2…,an,a线性相关，于是a可由a1,02,…,an唯一线性表出a=a1a+a22+…+ anan称系数a1,a2,…,an为a在基a1,a2,…,an下的坐标，记为(a1,2,…,any如果在V中可以找到任 意多个线性无关的元素则称V为无限维线性空间. 64一些常见的线性空间基与维数 1）pn={(a1,a anla,∈Pt=1,2.…,n}是n维的线性空间，且e1=(1,0.…,0),2= 9% 0,1, =(0,0…,1)是pm的一组基 P(i=1,…,mj=1,…,n}是mn维的线性空间，且E,i= 1,…,mj-1,…,n)是Pmxn的一组基； 3)Pn={ao+a1x+…+a-1xn-la,∈P(i=0,1,…,n-1)}是n维的线性空间，且1，，…，xn-1 是Prn的一组基； )数域P上一元多项式的全体P是无限维线性空间，因为对任意自然数N,P中的元素1，工，·，xN都 是线性无关的. 6,5坐标.过渡拒连。基变换与坐标变换 ()在数域P上n维线性空间V中，m个线性无关的向量1，e2…,en称为V的一组基，若va∈V,则有a= a1十a2c2十…+ann,数组(a1,02, ,an)称为a在基c1,2,…,n下的坐标 (②)设a1…,0n与1，…，8n是线性空间V的两组基，则 第1页18Ÿ, Ç5òm ò, ƒ£: 6.1 N MÜM0¥¸áöò8‹,XJÈM•záÉa, UÏ,ò{Kσ —kM0•òá(½ Éa 0ÜÉÈA, K°σè8‹MM0òáN. XJM •ÉaœLNσÜM0•Éa 0ÈA,“ Pèσ(a) = a 0 , dû°a 0èa3Nσeî, °aèa 03Nσeî. Nσ(M) ⊂ M0 ,eσ(M) = M0 ,Nσ“°è˜½N˛. ea1 6= a2 =⇒ σ(a1) 6= σ(a2), K°σè¸ ½1 − 1. eσQ¥¸q¥˜,K°σèV½1 − 1ÈA. 6.2 Ç5òm V ¥òáöò8‹,P¥òáÍç.38‹V ÉÉm½¬ °è\{$é,3Í çPÜV ÉÉm½¬ °èͶ$é. XJÈu?øα, β ∈ V —kα + β ∈ V ,qÈ?øk ∈ P⁄α ∈ V ,—kα ∈ V ,Ö\{ÜͶ$é˜vXel^5K£È?øα, β, γ ∈ V ⁄k, l ∈ P): (1)α + β = β + α; (2)(α + β) + γ = α + (β + γ); (3)3"É0 ∈ V ,¶α + 0 = α; (4)3αKÉβ ∈ V,¶α + β = 0; (5)1α = α; (6)k(lα) = (kl)α; (7)(k + l)α = kα + lα; (8)k(α + β) = kα + kβ; K°V èÍçP˛Ç5òm.Ç5òmÉè°èï˛. 6.3 ëÍ⁄ƒ V ¥ÍçP˛Ç5òm. XJV •knáÉα1, α2, · · · , αnÇ5Ã',V •vk çıÍ8Ç5Ã'É,K°V ¥nëÇ5òm,V ëÍPèdimV , q°α1, α2, · · · , αn¥V ò|ƒ. α ∈ V ,K°α1, α2, · · · , αn, αÇ5É',u¥αådα1, α2, · · · , αn çòÇ5L—α = a1α1 + a2α2 + · · · + anαn °XÍα1, α2, · · · , αn èα 3ƒα1, α2, · · · , αneãI,Pè(α1, α2, · · · , αn) 0 .XJ3V •å±È? øıáÇ5Ã'É,K°V èÃÅëÇ5òm. 6.4 ò ~ÑÇ5òmƒÜëÍ 1) P n = {(α1, α2, · · · , αn)|ai ∈ P(i = 1, 2, · · · , n)}¥nëÇ5òm, Öε1 = (1, 0, · · · , 0), ε2 = (0, 1, · · · , 0), · · · , εn = (0, 0, · · · , 1) ¥P nò|ƒ; 2) P m×n = {A = (aij )m×n|aij ∈ P(i = 1, · · · , m; j = 1, · · · , n)}¥mnëÇ5òm,ÖEij , i = 1, · · · , m; j = 1, · · · , n) ¥P m×n ò|ƒ; 3) P[x]n = {a0 + a1x + · · · + an−1x n−1 |ai ∈ P(i = 0, 1, · · · , n − 1)} ¥n ëÇ5òm,Ö1, x, · · · , xn−1 ¥P[x]nò|ƒ; 4) ÍçP˛òıë™NP[x]¥ÃÅëÇ5òm,œèÈ?øg,ÍN,P[x]•É1, x, · · · , xN— ¥Ç5Ã'. 6.5 ãI, Lfi› , ƒCÜÜãICÜ (1) 3ÍçP˛nëÇ5òmV •,náÇ5Ã'ï˛ε1, ε2, · · · , εn°èV ò|ƒ,e∀α ∈ V , Kkα = a1ε1 + a2ε2 + · · · + anεn, Í|(a1, a2, · · · , an)°èα3ƒε1, ε2, · · · , εneãI. (2) α1, · · · , αn Üβ1, · · · , βn ¥Ç5òmV ¸|ƒ, K 1 1 ê