a1a1+a21a2+…+ana a11a12·a1n 2=a1201+02202+··+an20, 其中A 021022 02 ∈PnXn称为由基a1,…,a 8+...+a a1a2.。am 到基8， ,n的过渡矩阵.于是(3…，月)=(a1,… …,anA ()()过渡矩阵为可逆矩阵 ()设a1,…,an是数域P维上n线性空间V的基，，…，n是V的一组向量，AE pnxn,且（，…，n)= (a1,…,a)A,则，…，3n是V的基当且仅当A为可逆矩阵. ()若A为基a1,·,an到基B1,·,8的过波矩阵，B为基1，·，8n到基1，·，m的过渡矩阵，C为 基B,...B到基0 ,an的过渡矩阵，则AB基Q1 n到 ,n的过渡矩阵，AC=CA=E. (4)设向量在基。 0与8 ,B下的坐标分别为X (1, ..mnY.Y (,,n)A为 基a1…,an到基月1，…，An的过渡矩阵，则X=AY 6.6线性子空间 ()设 V是数域P上的线性空间，W是V的非空子集，若W关于V的加法和数量乘法也做成P上的线性空 间，称W是V的子空间. (2)设W是线性空间V的非空子集，则W是V的子空间当且仅当下列条件同时成立：(1)a,B∈Wa+ BeW:(②)∀k∈PaeW,kaeW. (③)V是数域P上的线性空间，a,…,a,∈V,令W={kak:∈P,则W是V的子空间，并且W是 含a1,…,a,是最小子空间，称为由a1,…,a,生成的子空间，记为W=L(a1,…,a.向量组a,…,a,的 极大线性无关组为W的一组基.而且W的维数等于向量组 a.的秩 (④V的两个子 ,0a ,d)当且仅当两向量组0 0,与，…，等价 (⑤)设w是数域P上n维线性空间V的 个m维子空间，a1,…,m是W的一组基，那么这组向量必定可 以扩充为整个空间的基.即在V中可以找到n-m个向量am+1,…,am,使得a1…,an是V的一组基. 6.7子空间的交与和 (1)如果%与%是线性空间V的两个子空间，那么集合%n巧={aa∈，a∈}与y+= {a1+a2a1∈M,a2∈2}是V的子空间，称yn为听与的交，听+与的和. (2)设K,,W都是子空间，则WC,Wc2→Wcn2,WM,W→W)+ 倒)对于子空间与，则。 K-V ==店+ (维数公式)如果，是V的两个子空间，那么im()+im()=dim(+)+dim(n (⑤)如果维线性空间V中两个子空间M,的维数之和大于n,那么M,必含有非零的公共向量. 6.8子空间的直和 (1)设W,V是线性空间V的子空间，如果和W+中每个向量a的分解式a=a+a2,a1EV,a2EV2 是唯一的，这个和就称为直和，记为+ (②)设V是数域P上的线性空间，W与W2是y的子空间.则@W1+W2是直和=（间零元素的分解式是 唯一的即若0」 (甜)Wn形=0. 个子空间则必存在的子空间.使-U W,称W为U在V中的直和补 (④设，，…，V,都是线性空间V的子空间，如果和++…+V,中每个向量α的分解式a=a1+ 2+…+a,∈Vi=1,2,…,),是唯一的，这个和就称为直和记为%+十…+V. (⑤)，，·，V,是V的一些子空间，则)W=∑是直和=()零向量的表法是唯一的=()n 层=o=12,=Gv)dim(W)=En 第2页    β1 = a11α1 + a21α2 + · · · + an1αn β2 = a12α1 + a22α2 + · · · + an2αn · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · βn = a1nα1 + a2nα2 + · · · + annαn , Ÿ•A =   a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n . . . . . . . . . as1 as2 · · · asn   ∈ P n×n °èdƒα1, · · · , αn ƒβ1, · · · , βnLfi› . u¥(β1, · · · , βn) = (α1, · · · , αn)A. (3) (i) Lfi› èå_› ; (ii) α1, · · · , αn¥ÍçPë˛nÇ5òmV ƒ, β1, · · · , βn¥V ò|ï˛, A ∈ P n×n , Ö(β1, · · · , βn) = (α1, · · · , αn)A , Kβ1, · · · , βn ¥V ƒÖ=Aèå_› . (iii) eAèƒα1, · · · , αnƒβ1, · · · , βnLfi› , Bèƒβ1, · · · , βnƒγ1, · · · , γnLfi› , Cè ƒβ1, · · · , βn ƒα1, · · · , αn Lfi› , KAB ƒα1, · · · , αnγ1, · · · , γnLfi› , AC = CA = E. (4) ï˛ξ3ƒα1, · · · , αnÜβ1, · · · , βneãI©OèX = (x1, · · · , xn) 0 , Y = (y1, · · · , yn), Aè ƒα1, · · · , αnƒβ1, · · · , βnLfi› , KX = AY . 6.6 Ç5fòm (1) V ¥ÍçP˛Ç5òm,W¥V öòf8,eW'uV \{⁄Ͳ¶{èâ§P˛Ç5ò m,°W¥V fòm. (2) W¥Ç5òmV öòf8,KW¥V fòmÖ=e^á”û§·:(1) ∀α, β ∈ W, α + β ∈ W; (2) ∀k ∈ P, ∀α ∈ W, kα ∈ W. (3) V ¥ÍçP˛Ç5òm,α1, · · · , αs ∈ V , -W = { Ps i=1 kiαi |ki ∈ P}, KW¥V fòm,øÖW¥ ¹α1, · · · , αs¥Åfòm,°èdα1, · · · , αs)§fòm,PèW = L(α1, · · · , αs). ï˛|α1, · · · , αs 4åÇ5Ã'|èWò|ƒ. ÖWëÍuï˛|α1, · · · , αsù. (4) V ¸áfòmL(α1, · · · , αs) = L(β1, · · · , βk)Ö=¸ï˛|α1, · · · , αsÜβ1, · · · , βk d. (5) W¥ÍçP˛nëÇ5òmV òámëfòm,α1, · · · , αm ¥Wò|ƒ,@o˘|ï˛7½å ±*øèáòmƒ. =3V •å±Èn − máï˛αm+1, · · · , αn,¶α1, · · · , αn¥V ò|ƒ. 6.7 fòmÜ⁄ (1) XJV1ÜV2¥Ç5òmV ¸áfòm, @o8‹V1 ∩ V2 = {α|α ∈ V1, α ∈ V2} ÜV1 + V2 = {α1 + α2|α1 ∈ V1, α2 ∈ V2} ¥V fòm, °V1 ∩ V2èV1ÜV2, V1 + V2V1ÜV2⁄. (2) V1, V2, W—¥fòm,KW ⊂ V1, W ⊂ V2 =⇒ W ⊂ V1 ∩ V2, W ⊃ V1, W ⊃ V2 =⇒ W ⊃ V1 + V2. (3) ÈufòmV1ÜV2, KV1 ⊂ V2 V1 ∩ V2 = V1 V1 + V2 = V2. (4)(ëÍ˙™)XJV1, V2¥V ¸áfòm,@odim(V1) + dim(V2) = dim(V1 + V2) + dim(V1 ∩ V2). (5)XJnëÇ5òmV •¸áfòmV1, V2ëÍÉ⁄åun,@oV1, V27¹kö"˙
ï˛. 6.8 fòmÜ⁄ (1) V1, V2¥Ç5òmV fòm,XJ⁄V1 + V2•záï˛α©)™α = α1 + α2, α1 ∈ V1, α2 ∈ V2 ¥çò,˘á⁄“°èÜ⁄,PèV1 u V2. (2) V ¥ÍçP˛Ç5òm,W1ÜW2¥V fòm,K(i) W1 + W2¥Ü⁄ (ii) "É©)™¥ çò,=e0 = α1 + α2, α1 ∈ W1, α2 ∈ W2, Kêkα1 = α2 = 0. (iii) W1 ∩ W2 = {0}. (3) U¥Ç5òmV òáfòm,K73V fòmW,¶V = U u W, °WèU3V •Ü⁄÷. (4) V1, V2, · · · , Vs—¥Ç5òmV fòm,XJ⁄V1 + V2 + · · · + Vs•záï˛α©)™α = α1 + α2 + · · · + αs, αi ∈ Vi(i = 1, 2, · · · , s), ¥çò,˘á⁄“°èÜ⁄.PèV1 u V2 u · · · u Vs. (5) V1, V2, · · · , Vs¥V ò fòm,K(i)W = PVi¥Ü⁄ (ii)"ï˛L{¥çò (iii) Vi ∩ P j6=i Vj = {0}(i = 1, 2, · · · , s); (iv)dim(W) = Pdim(Vi). 1 2 ê