6.7商空间设V是数域P上线性空间，W是V的子空间，a∈V.记a+W=a+B∈W,7= {a+Wa∈V),则T为数域P上线性空间，称为V关于W的商空间. ()若a,BeV,则a+W=月+W=a-3∈W (2②)若dim =m,dim 01 ,n是W 一组基，将其扩充为V的一组基a,…,am,am+1…,an 则am+1+W,…,an+W为7的一组基，于是dimV+dimW=dimV. 二典型例题与解题技巧 %s1两a-(08)m-()m-(:）a-(任） = 10 (①)求由基 3,到基，2，，的过渡矩阵 (②)求8= 4)在装a1,.a.下的坐标 ()求在基a4,2,g,与基，，，下有相同坐标的矩阵 解(1)取P2x2的基E1,E12,E2,E2,则有(a1,02,0g4）=(E1,E2,E21,E22)C,(问，2，，)= 1111 1011 0111 0111 (E11.E12,E21,E2)C2,其中C1 .C2 于是 0011 1110 0001 1101 (1,,,34)=(@ 03 C-IC= (a1,2,a3,a4)C,即由基 1,a2,3,a4到基1,，，的过 100 波矩阵为C=C一1C2 -1 0 0 0 01-1 1 10 (2)设A∈p2x2在基a1,a2,3,4与基尻，2，房，月，下的坐标为r=(国1,2,3，y,则由坐标变换公式 得x=Cz,即(E-C)r=0,可求得该线性方程组的通解为1=0,2=0，=k,x4=0(k∈)，于是在 基1，a2,ag,a4与基31，B2,,B:下有相同坐标的矩阵为A=kag=k /11Y 10k∈. 例62()证明：在Pn中，多项式-(c-am）…(c-a4-)x-4+)…(c-an)i-1,…,n)是 组基a,a2, a。是互不相同的数. (②)在()中，取a1,a2,…,an是全体n次单位根，求由基1， -1到基h,2,…,n的过渡矩阵 证()设k方+k22+…+km=0.令x=1,代入上式并注意2(a)=…=fn(a1)=0.而f(a)十 0,得1=0.同理，将红=a2,…,x=am分别代入前一式可得==…=kn=0,故i,…,fn线性无 关而Pzn是n维的，于是i,…,fn是一组基. 2)取a,=1.0%=三，...，a.=n-1其中E=co52红+isim2红，则有 ==1++x2++xn-1 1 e-2红+ -32+…ter-2+x- =2=e-2+en-+en-6x2+…+r2+x-1 ,。 第3页6.7 ˚òm V ¥ÍçP˛Ç5òm, W¥V fòm, α ∈ V . Pα + W = {α + β|β ∈ W}, V = {α + W|α ∈ V }, KV èÍçP˛Ç5òm, °èV 'uW˚òm. (1) eα, β ∈ V , Kα + W = β + W α − β ∈ W; (2) edimV = m, dimV = n, α1, · · · , αm ¥Wò|ƒ, ÚŸ*øèV ò|ƒα1, · · · , αm, αm+1, · · · , αn, Kαm+1 + W, · · · , αn + W èV ò|ƒ, u¥dimV + dimW = dimV . ;.~KÜ)KE| ~6.1 P 2×2¸|ƒèα1 = 1 0 0 0 ! , α2 = 1 1 0 0 ! , α3 = 1 1 1 0 ! , α4 = 1 1 1 1 ! , β1 = 1 0 1 1 ! , β2 = 0 1 1 1 ! , β3 = 1 1 1 0 ! , β4 1 1 0 1 ! , (1)¶dƒα1, α2, α3, α4ƒβ1, β2, β3, β4Lfi› ; (2) ¶β = 1 2 3 4 ! 3ƒα1, α2, α3, α4eãI. (3) ¶3ƒα1, α2, α3, α4܃β1, β2, β3, β4ekÉ”ãI› . )(1)P 2×2ƒE11, E12, E21, E22, Kk(α1, α2, α3, α4) = (E11, E12, E21, E22)C1, (β1, β2, β3, β4) = (E11, E12, E21, E22)C2, Ÿ•C1 =   1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1   , C2 =   1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1   . u¥ (β1, β2, β3, β4) = (α1, α2, α3, α4)C −1 1 C2 = (α1, α2, α3, α4)C, =dƒα1, α2, α3, α4ƒβ1, β2, β3, β4L fi› èC = C −1 1 C2 =   1 −1 0 0 −1 0 0 1 0 0 1 −1 1 1 0 1   . (2)A ∈ P 2×2 3ƒα1, α2, α3, α4܃β1, β2, β3, β4eãIèx = (x1, x2, x3, x4) 0 ,KdãICÜ˙™ x = Cx,=(E − C)x = 0,å¶TÇ5êß|œ)èx1 = 0, x2 = 0, x3 = k, x4 = 0(k ∈ ∀R), u¥3 ƒα1, α2, α3, α4܃β1, β2, β3, β4ekÉ”ãI› èA = kα3 = k 1 1 1 0 ! (k ∈ R). ~6.2 (1) y²: 3P[x]n•,ıë™fi = (x − a1)· · ·(x − ai−1)(x − ai+1)· · ·(x − an)(i = 1, · · · , n)¥ò |ƒa1, a2, · · · , an¥pÿÉ”Í. (2) 3(1)•,a1, a2, · · · , an¥Nng¸†ä,¶dƒ1, x, · · · , xn−1ƒf1, f2, · · · , fnLfi› . y (1)k1f1 + k2f2 + · · · + knfn = 0. -x = a1,ì\˛™ø5øf2(a1) = · · · = fn(a1) = 0, f1(a1) 6= 0,k1 = 0.”n,Úx = a2, · · · , x = an©Oì\cò™åk2 = k3 = · · · = kn = 0, f1, · · · , fnÇ5à '. P[x]n¥në,u¥f1, · · · , fn¥ò|ƒ. 2)a1 = 1, a2 = ε, · · · , an = ε n−1 ,Ÿ•ε = cos 2π n + isin 2π n .Kk f1 = x n−1 x−1 = 1 + x + x 2 + · · · + x n−1 f2 = x n−1 x−ε = ε n−1 + ε n−2x + ε n−3x 2 + · · · + εxn−2 + x n−1 f3 = x n−1 x−ε 2 = ε n−2 + ε n−4x + ε n−6x 2 + · · · + εx2 + x n−1 · · · 1 3 ê