nX 证明:因为n1≤n2而当x>1时x1n收敛,故级数x 收敛,从而级数力 绝 对收敛 交错级数与它的审敛准则 交错级数就是任一相邻的两项都是符号相反的数,它是一般常数项级数的一种特殊级数 交错级数可以写成:x 交错级数的审敛准则(菜布尼兹准则) >a>a2>…>a> lim a =0 如果 且 那末级数(D40收敛 例如:交错级数234是收敛的,因为它满足莱布尼兹准则的两个条件 函数项级数、幂级数 在自然科学与工程技术中运用级数这一工具时,经常用到不是常数项的级数,而是函数项的级数 而常数项级数是研究函数项级数的基础 函数项级数的概念 设有函数序列,f1(功12(,3(x)…J2(功…,其中每一个函数都在同一个区间上有定义 ∑∫(x)=f1()+∫2(x+3(x+…+∫(x) 那末表达式x1 称为定义在I上的函数项级数 下面我们来学习常见而应用广泛的一种具有如下形式的函数项级数 C0+a1x+C2x-+c3x+…+c2x2+…=cnx 它们的各项都是正整数幂的幂函数这种级数称为幂级数,其中c(n=0,1,2,)均为常数 显然,当上面级数中的变量x取定了某一个值x0时,它就变为一个常数项级数 幂级数的收敛问题 与常数项级数一样,我们把5(x)=C0+1x+c2x2+…+x2称为幂级数的部分和。如果这部 分和当n→时对区间I中的每一点都收敛,那末称级数在区间收敛。此时s(x)的极限是定义 s(x)=cnx 在区间I中的函数,记作:sx).这个函数s(x)称为级数的和函数,简称和,记作 对于幂级数,我们关心的问题仍是它的收敛与发散的判定问题,下面我们来学习关于幂级数的 收敛的判定准则。 幂级数的审做准则证明：因为 ≤ 而当 λ>1 时 收敛，故级数 收敛，从而级数 绝 对收敛. 交错级数与它的审敛准则 交错级数就是任一相邻的两项都是符号相反的数，它是一般常数项级数的一种特殊级数. 交错级数可以写成： 交错级数的审敛准则(莱布尼兹准则)： 如果 且 ，那末级数 收敛. 例 如 ：交错级 数 是收敛的 ，因为 它满足 莱布 尼兹准 则的两 个条 件： 及 函数项级数、幂级数 在自然科学与工程技术中运用级数这一工具时，经常用到不是常数项的级数，而是函数项的级数. 而常数项级数是研究函数项级数的基础。 函数项级数的概念 设有函数序列， ，其中每一个函数都在同一个区间 I 上有定义， 那末表达式 称为定义在 I 上的函数项级数。 下面我们来学习常见而应用广泛的一种具有如下形式的函数项级数： 它们的各项都是正整数幂的幂函数.这种级数称为幂级数，其中 cn(n=0,1,2,…)均为常数. 显然，当上面级数中的变量 x 取定了某一个值 x0 时，它就变为一个常数项级数。 幂级数的收敛问题 与常数项级数一样，我们把 称为幂级数的部分和。如果这部 分和当 n→∞时对区间 I 中的每一点都收敛，那末称级数在区间 I 收敛。此时 sn(x)的极限是定义 在区间 I 中的函数，记作:s(x). 这个函数 s(x)称为级数的和函数，简称和，记作： 对于幂级数，我们关心的问题仍是它的收敛与发散的判定问题，下面我们来学习关于幂级数的 收敛的判定准则。 幂级数的审敛准则