二，解题方法与技巧 1用正交变换化二次型为标准形的解题步骤 第一步，把二次型表示为矩阵形式x'A: 第二步，求A的特征值及相应的特征向量（当入1≠为2时最好检验你所求X1,X2是否正交）： 第三步，若特征值有重根，则对重根所求的特征向量要注意，若不正交，则需Schmidt正交化 第四步，把特征向量单位化为1,2， 第五步，构造正交矩阵C=(1,2,…,) 第六步，令x=C,得Ar=1听+2呢+…+m2 2用配方法化二次型为标准形的解题步骤为 1)如 二次型中至少有 个平方项不妨设1≠0则对所有含，的项配方（经配方后所余各项中不再 含1)如此继续配方，直至每一项都含在各完全平方项中，引入新变量功，，…，n.由y=C-1x,得A江= 山听+d2明+…+dn编 (②)如二次型中不含平方项，只有混合项，不妨设12≠0，则可令x1=1+,2=劝一2，g ·,n=经此坐标变换，二次型中出现a12听-a12后，再按(1)实行配方法 例5.1有三种方法化二次型fc1,x2,z3)=2x1x2+2x1x3-6x23为标准形. 解（配方法）.（特征值法）.（合同变换法） 例5.2求正交变换化二次型2r-2红12+213-223为标准形，并写出所用正交变换. 0-1 1 -1 [+1+10 解二次型矩阵A -1 IE-Al= 1A1 2 -11入-2 (+1)(2-3)得到4的特征值是3，-1,0 31-1] 对=3.由(3E-A)x=0.即131.解得a1=(1.-1.2'. 111 类似地，对入=-1，a2=1,1,0:入=0时，a (~1,1,1以.特征值无重根，仅需单位化：1=高 1 -1 构造正交矩阵C三 ,那么 2 0 令x=C,二次型A=3-好为所求标准形， 练习1.己知a=(1,-2,2y是二次型A红=ar子+4号+bz-4红12+4红14-823矩阵A的特征 向量，求正交变换化为二次型为标准形，并写出所用正交变换。 2.设二次型x+号+x号-412-41+2r2经正交变换化为3+3+b.求a,b的值及所用 正交变换 3.已知二次型f1,2,)=(1-a+(1-a+2z+201+)x12的秩为2.（四求a的值：四求正 交变换x=Q,把f1,2,xg)化成标准形：（四）求方程f(1,x2,x3)-0的解. 第3页, )Kê{ÜE| 1 ^CÜzg.èIO/)K⁄½ 1ò⁄,rg.L´è› /™x 0Ax; 1⁄,¶A Aä9ÉAAï˛(λ1 6= λ2 û,Å–u\§¶X1, X2 ¥ƒ); 1n⁄,eAäk­ä,Kȭ䧶Aï˛á5ø,eÿ,KISchmidt z; 1o⁄,rAï˛¸†zèγ1, γ2, · · · , γn; 1 ⁄,E› C = (γ1, γ2, · · · , γn) 18⁄,-x = Cy, x 0Ax = λ1y 2 1 + λ2y 2 2 + · · · + λny 2 n . 2 ^ê{zg.èIO/)K⁄½è (1) Xg.•ñkòá²êë,ÿîa11 6= 0, Kȧk¹x1 ëê(²ê￾§{àë•ÿ2 ¹x1).XdUYê,Üñzòë—¹3à²êë•,⁄\#C˛y1, y2, · · · , yn.dy = C −1x,x 0Ax = d1y 2 1 + d2y 2 2 + · · · + dny 2 n . (2) Xg.•ÿ¹²êë,êk·‹ë,ÿîa12 6= 0,Kå-x1 = y1 + y2, x2 = y1 − y2, x3 = y3, · · · , xn = yn.²dãICÜ,g.•—ya12y 2 1 − a12y 2 2￾,2U(1)¢1ê{. ~5.1 kn´ê{zg.f(x1, x2, x3) = 2x1x2 + 2x1x3 − 6x2x3èIO/. ) (ê{), (Aä{), (‹”CÜ{) ~5.2 ¶CÜzg.2x 2 3 − 2x1x2 + 2x1x3 − 2x2x3èIO/,ø—§^CÜ. ) g.› A =     0 −1 1 −1 0 −1 1 −1 2     . |λE − A| =     λ 1 −1 1 λ 1 −1 1 λ − 2     =     λ + 1 λ + 1 0 1 λ 1 −1 1 λ − 2     = (λ + 1)(λ 2 − 3λ)A Aä¥3, −1, 0. Èλ = 3, d(3E − A)x = 0, =     3 1 −1 1 3 1 −1 1 1     , )α1 = (1, −1, 2)0 . aq/,Èλ = −1, α2 = (1, 1, 0)0 ; λ = 0û,α3 = (−1, 1, 1)0 . Aäíä,=I¸†z: γ1 = α1 ||α1|| = √ 1 6     1 −1 2     , γ2 = α2 ||α2|| = √ 1 2     1 1 0     , γ3 = α3 ||α3|| = √ 1 3     −1 1 1     . E› C =     √ 1 6 √ 1 2 − √ 1 3 − √ 1 6 √ 1 2 √ 1 3 √ 2 6 0 √ 1 3     , @o -x = Cy,g.x 0Ax = 3y 2 1 − y 2 2觶IO/. ˆS 1. Æα = (1, −2, 2)0 ¥g.x 0Ax = ax2 1 + 4x 2 2 + bx2 3 − 4x1x2 + 4x1x3 − 8x2x3 › AA ï˛,¶CÜzèg.èIO/,ø—§^CÜ. 2. g.x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 − 4x1x2 − 4x1x3 + 2ax2x3²CÜzè3y 2 1 + 3y 2 2 + by2 3 . ¶a,bä9§^ CÜ. 3. Æg.f(x1, x2, x3) = (1 − a)x 2 1 + (1 − a)x 2 2 + 2x 2 3 + 2(1 + a)x1x2 ùè2.(I)¶aä;(II)¶ CÜx = Qy, rf(x1, x2, x3)z§IO/;(III) ¶êßf(x1, x2, x3) = 0 ). 1 3 ê