(3)用正交变换化二次型为标准形 第一步：把二次型表示成矩阵形式XTAX: 第二步：求A的特征值及相应的特征向量（当A1≠2时，最好检验所求的X1,X2是否正交）： 第三步：若特征值有重根，则对重根所求的特征向量要Schmide正交化， 第四步：把特征向量单位化为1,2，·， 第五步：构造正交矩阵C=(1,2,…,m: 第六步：令X=CY,得xTAX=1听+2呢+…+n层 定理5.1任意的n元二次型4r都可以通过坐标变换 Cy(注意C是可逆矩阵)化成标准形 即tAr=Ag=dy听+d听+…+dn后，其中A=CAC.特别地，存在正交变换x=Cy(C是正交知 阵)化Ar为标准形，即rAz=A听+2呢+…+n品，A=CAC=C-1AC,这里，A2,…,Xm是 次型矩阵A的m个特征值. 任意一个句系数的二次型经话当的非化线性替换可以变成仅含平方项系数皆为1的却荒性日却 范形是唯一的。 复 系数的对称矩阵合同于主对角线上元素皆为1或0的对角矩阵1的个数就是该对称矩阵的秩 数：两个复对称矩阵合同的充要条件是它们的秩相等. 定理52惯性定理任意一个实数域上的二次型，经过适当的非退化线性替换，可以变成仅含系数 为士1的平方项的规范形，且规范形是唯一的。 在实二次型f(1,2,…,xn)的规范形好+…+号-子+1-…一中，正平方的个数即称为f的正惯性 指数，负平方的个数r-p称为f的负惯性指数，它们的差印-(r-p)=2印-r称为f的符号差. 任一实对称矩阵A都合同于一个对角阵diag1,·,1,-1…,-1,0,…,0),其中对角线上1的个数知 1的个数r-p其中r=rmk(A),0的个数n-r都是唯一确定的，p与r一p分别称为A的正，负惯性指数，它 们的差2即-r称为A的符号差 定理5,3二次型正定的充分必要条件元二次型x'Ax正定 台Ax的正惯性指数m ÷A与E合同，即有可逆矩阵C,使CAC=E 台A的所有特征值全大于零 台A的顺序主子式全大于零 ÷存在可逆矩阵C,使得A=CC 定理5.4二次型半正定的充分必要条件n元二次型f红1,2，…，工n)=A半正定 ÷它的正惯性指数与秩相等 d 台有可逆矩阵C,使得CAC 其中d2ci=1,2,,n d ÷有实矩阵C使得A=CC 片A的所有主子式皆大于或等于零， 定理5.5两矩阵合同的充分必要条件实对称矩阵A≈B的充要条件是：二次型A与B有相同 的正，负惯性指数. 定理5.6两矩阵合同的充分条件实对称矩阵AB的充分条件是A~B 因为若A~B,则A,B有相同的特征值，从而二次型x'A与士Bx有相同的标准形，即有相同的正，负惯 性指数，从而A~B. 第2页 (3) ^CÜzg.èIO/ 1ò⁄:rg.L´§› /™XT AX; 1⁄:¶AAä9ÉAAï˛(λ1 6= λ2û,Å–u§¶X1, X2¥ƒ); 1n⁄:eAäk­ä,Kȭ䧶Aï˛áSchmidez; 1o⁄:rAï˛¸†zèγ1, γ2, · · · , γn; 1 ⁄:E› C = (γ1, γ2, · · · , γn); 18⁄:-X = CY ,XT AX = λ1y 2 1 + λ2y 2 2 + · · · + λny 2 n . ½n5.1 ?øng.x 0Ax —屜LãICÜx = Cy (5øC ¥å_› ) z§IO/, =x 0Ax = y 0Λy = d1y 2 1 + d2y 2 2 + · · · + dny 2 n , Ÿ•Λ = C 0AC. AO/, 3CÜx = Cy (C ¥› )zx 0Ax èIO/, =x 0Ax = λ1y 2 1 + λ2y 2 2 + · · · + λny 2 n , Λ = C 0AC = C −1AC, ˘pλ1, λ2, · · · , λn ¥ g.› A náAä. ?øòáEXÍg.,²L·öÚzÇ5OÜå±C§=¹²êëXÍè15â5,Ö5 â/¥çò. ?òEXÍÈ°› ‹”uÃÈDzÉè1½0È› ;1áÍ“¥TÈ°› ù Í;¸áEÈ°› ‹”øá^á¥ßÇùÉ. ½n5.2 .5½n ?øòá¢Íç˛g., ²L·öÚzÇ5OÜ, å±C§=¹XÍ è±1²êë5â/, Ö5â/¥çò. 3¢g.f(x1, x2, · · · , xn)5â/z 2 1 + · · · + z 2 p − z 2 p+1 − · · · − z 2 r•, ²êáÍp°èf.5 çÍ,K²êáÍr − p°èfK.5çÍ,ßÇp − (r − p) = 2p − r°èfŒ“. ?ò¢È°› A—‹”uòáÈ diag(1, · · · , 1, −1 · · · , −1, 0, · · · , 0), Ÿ•ÈDz1áÍp, - 1áÍr − p(Ÿ•r = rank(A)), 0áÍn − r—¥çò(½, pÜr − p©O°èA,K.5çÍ, ß Ç2p − r°èAŒ“. ½n5.3 g.½ø©7á^á n g.x 0Ax ½ ⇔ x 0Ax .5çÍp = n ⇔ A ÜE‹”,=kå_› C,¶C 0AC = E; ⇔ A§kAäåu"; ⇔ A^SÃf™åu"; ⇔ 3å_› C,¶A = C 0C. ½n5.4 g.å½ø©7á^á n g.f(x1, x2, · · · , xn) = x 0Ax å½ ⇔ ß.5çÍÜùÉ. ⇔ kå_› C,¶C 0AC =   d1 d2 . . . dn   , Ÿ•di ≥ 0;i = 1, 2, · · · , n. ⇔ k¢› C¶A = C 0C ⇔ A§kÃf™åu½u". ½n5.5 ¸› ‹”ø©7á^á ¢È°› A ' B øá^á¥:g.x 0Ax Üx 0BxkÉ” ,K.5çÍ. ½n5.6 ¸› ‹”ø©^á ¢È°› A ' B ø©^á¥A ∼ B. œèeA ∼ B, KA, BkÉ”Aä,l g.x 0Ax Üx 0Bx kÉ”IO/,=kÉ”,K. 5çÍ,l A ' B. 1 2 ê