第五讲二次型 一，相关的概念及结论 1,二次型及其矩阵表示设P是一个数域，a,∈P,n个文字x1,2,…,xn的二次齐次多项式 f( 当a与为实数时，称f为实二次型.当a为 复数时，称∫为复二次型. 令x=(1,x2,…,xn丫，A=(ay,则二次型可用矩阵乘法表示为f(1,2,…,n)=丈A红，其 中A是n阶实对称矩阵(A'=A),称A为二次型f(红1,2，·，工n)的矩阵矩阵A的秩(4A)称为二次型f的秩，记 作r(n. 2,二次形的标准形与规范形如果二次型中只含有变量的平方项，所有混合项x位≠)的系数全是 零，即fx1,2,…,En)=xAx=d1x+d山2+…+dnc2,d,(i=1,2,·,n为实数，则称这样的二次型为 标准形，在标准形中，正平方项的个数称为二次型的正惯性指数，负平方项的个数g称为二次型的负惯性 指数。若d为1，-1或0，这样的标准中称为规范形.-仁一)=2p-r称为12，)的符号差 3,合同矩阵两个n阶实对称矩阵A和B,如存在可逆矩阵C,使得CAC=B,则称矩阵A和B合同 4.正定二次型与正定矩阵对二次型xA红，如对任何x≠0，恒有士Ax>0,则称二次型士Ax是正定 二次型.正定二次型的矩阵A称为正定矩阵 5.半正定矩连设f( .,工)是实二次型对于任意一组不全为零的实数c cn,若f…,cn)< )称 负定的若fc,, n)≥0，则f ,)称为半正定的：若fC 及霜为致定a果不是正定的文木是半负定的为不定酮 6.化二次型为标准形的方法 (四)配方法：回如二次型中至少有一个平方项，不妨设a11≠0，则对所有含1的项配方（经配方后所余 各项中不再含x)如此继续配方，直到每一项都包含在各完全平方项中，引入新变量班，2，…，如由Y一 C-1X,得XTAX=d2+d2呢+…+dn2. ()如二次型中不含平方项，只有混合项，不妨设120，则可令=1+2,2=班一=，…，工= ,经此坐标变换二次型中出现a22 -12好后，再按(1)实行配方法。 (2),初等变换法用非退化线性 替换X Cy化 次型∫=X'AX为标准形，相当于对于对称矩阵A找 个可逆矩阵C,使CAC=D为对角阵.由于可逆矩阵C可以写成若干个初等矩阵乃，乃，·，P.的乘积，即C 乃乃…P,从而有P…PAnB…P=D:E乃B…P,=C 根据初等矩阵的有关性质（用初等矩阵左（右）乘矩阵A相当于对A作一次初等行（列）变换)，由上式可得 到用初等变换法化二次型为标准形的步骤如下： 第一步：写出=次萄的矩阵人并构造如×定阵（公）片 第二步：对A进行初等行变换和同样的初等列变换，把A化成对角矩阵D,并对E施行与A相同的初等列 变换化为矩阵C,此时CAC=D. :写出非退化线性替换X =CY化二次型为标准形f=YD 个方法可示意如下： 【)一（已）时健行同样的初等行变换和切等列换对E只进行共中的初等列测 注：P6,Y=Pi,),P()Y=P((),P,j)y=PG,)》. 第1页1 ˘ g. ò, É'Vg9(ÿ 1, g.9Ÿ› L´ P¥òáÍç, aij ∈ P,ná©ix1, x2, · · · , xng‡gıë™ f(x1, x2, · · · , xn) = Pn i=1 Pn j=1 aijxixj , aij = aji °èng.. °èÍçP˛òáng., {°g..aijè¢Íû,°fè¢g.. aijè EÍû,°fèEg.. -x = (x1, x2, · · · , xn) 0 , A = (aij ), Kg.å^› ¶{L´èf(x1, x2, · · · , xn) = x 0Ax, Ÿ •A¥n¢È°› (A0 = A),°Aèg.f(x1, x2, · · · , xn) › .› Aùr(A)°èg.fù,P är(f). 2, g/IO/Ü5â/ XJg.•ê¹kC˛²êë,§k·‹ëxixj (i 6= j)XÍ¥ ",=f(x1, x2, · · · , xn) = x 0Ax = d1x 2 1 + d2x 2 2 + · · · + dnx 2 n , di(i = 1, 2, · · · , n) è¢Í, K°˘g.è IO/. 3IO/•,²êëáÍp °èg..5çÍ,K²êëáÍq °èg.K.5 çÍ. ediè1, −1½0, ˘IO•°è5â/. p − (r − p) = 2p − r°èf(x1, x2, · · · , xn)Œ“. 3, ‹”› ¸án¢È°› A⁄B,X3å_› C,¶C 0AC = B,K°› A ⁄B ‹”. 4. ½g.ܽ› Èg.x 0Ax, XÈ?¤x 6= 0, ðkx 0Ax > 0, K°g.x 0Ax ¥½ g.. ½g.› A °è½› . 5. å½› f(x1, · · · , xn)¥¢g.,Èu?øò|ÿè"¢Íc1, · · · , cn, ef(c1, · · · , cn) < 0, Kf(x1, x2, · · · , xn) °èK½;ef(c1, c2, · · · , cn) ≥ 0, Kf(x1, · · · , xn) °èå½; ef(c1, · · · , cn) ≤ 0, Kf(x1, · · · , xn) °èåK½;XJßQÿ¥å½qÿ¥åK½,@of(x1, , · · · , xn)°èÿ½. 6. zg.èIO/ê{ (1) ê{ :(i)Xg.•ñkòá²êë,ÿîa11 6= 0,Kȧk¹x1ëê(²ê￾§{ àë•ÿ2¹x1).XdUYê, Üzòë—ù¹3à²êë•,⁄\#C˛y1, y2, · · · , yn.dY = C −1X,XT AX = d1y 2 1 + d2y 2 2 + · · · + dny 2 n . (ii)Xg.•ÿ¹²êë,êk·‹ë,ÿîa126=0,Kå-x1 = y1+y2, x2 = y1−y2, x3 = y3, · · · , xn = yn,²dãICÜ,g.•—ya12y 2 1 − a12y 2 2￾,2U(1)¢1ê{. (2), –CÜ{ ^öÚzÇ5OÜX = CY zg.f = X0AXèIO/,ÉuÈuÈ°› AÈò áå_› C,¶C 0AC = DèÈ .duå_› C屧eZá–› P1, P2, · · · , Ps¶»,=C = P1P2 · · · Ps,l kP 0 s · · · P 0 2P 0 1AP1P2 · · · Ps = D; EP1P2 · · · Ps = C. ä‚–› k'5ü(^–› Ü(m)¶› AÉuÈAäòg–1()CÜ),d˛™å ^–CÜ{zg.èIO/⁄½Xe: 1ò⁄:—g.f› A,øE2n × n› A E ! ; 1⁄:ÈA?1–1CÜ⁄”–CÜ,rAz§È› D,øÈEñ1ÜAÉ”– CÜzè› C,dûC 0AC = D. 1n⁄:—öÚzÇ5OÜX = CY zg.èIO/f = Y 0DY . ˘ áê{å´øXe: A E ! −→ D C ! (ÈA?1”–1CÜ⁄–CÜ;ÈEê?1Ÿ•–CÜ) 5: P(i, j) 0 = P(i, j), P(i(k))0 = P(i(k)), P(i, j(k))0 = P(j, i(k)). 1 1 ê