定义9.9(能量函数)对于∂一邻位势,组态的函数 称为∂一邻位势的能量函数 定义9.10(∂一邻位势的 Gibbs分布与Gibs随机场) 在组态空间S=(0,…,L-1}°上定义的概率分布兀=丌(a)(a∈S),称为一邻位 势(在能量函数下)的Gbbs分布(这里是离散分布),其中 Hu为a-邻位势的能量函数,而Z为一个归一化常数,称为 Gibbs分布的配分常数 Z 以Gibs分布为分布的随机场称为Gbs场,即 P(5 就是说,Gibs分布π是随机场在所有的格点处取值的联合分布 在第6,7章中的 Ising模型中的 Gibbs分布,就是这里的 Gibbs场的概率分布的特殊情 形,即L=2,自旋空间为{-1,}的情形,其对应的位势是紧邻的(而把外场看成格点对自 己的作用的和). Ising模型中 Gibbs分布中有一个倒温度参数,这是为了调节用的.这里 无妨省去 再则,由于在不同的邻域中的科学家有他们习惯用的记号,所以,在本节中的记号 6,7章中用的有些不同,请读者见谅由于记号改动所带来的不便.我们列出其对比 组态配称分布倒温度随机场 第6,7章5,na, 本节a,Bm 在第6,7章中,由于 Ising模型较为简单,我们只提出了 Gibbs分布的概念,而并未提出随 机场的概念.事实上, Gibbs分布是 Gibbs随机场的不变分布(有的文献中 Gibbs分布与 Gibs随机场的术语是混用的).因此在第6,7章中,我们如很多书上那样用ξ,n表示组态 而在本节中,我们强调的是随机场,它用ξ,n表示更为合适,所以我们就与很多书上不一样, 改用a,B表示组态 定理9.11( Hammersley- Clifford基本定理 对于给定的相邻系统∂,∂- Markov随机场与∂一邻位势 Gibbs场是一样的.】 这个定理的意义在于,用∂- Markov随机场来描述图象是一个直观认识,而用∂一邻位 势 Gibbs场则可归结为其能量函数,后者有时可以用简单的参数来表达(例如相互作用具有 平移不变性的时候).那时就可用几个参数来描述图象.从而可以达到信息压缩的目的.于 32232 定义９.９（能量函数） 对于¶ -邻位势, 组态的函数 å ¶ D = C HU UC 子团 (9. 2) 称为¶ -邻位势的能量函数. 定义９.１０（¶ -邻位势的 Gibbs 分布与 Gibbs 随机场） 在组态空间 G S = {0,L , L - 1} 上定义的概率分布p = p (a),(a Î S ), 称为 ¶ - 邻位 势(在能量函数下)的 Gibbs 分布(这里是离散分布), 其中 1 ( ) ( ) a p a HU e Z - = , HU 为¶ -邻位势的能量函数, 而 Z 为一个归一化常数, 称为 Gibbs 分布的配分常数: åÎ - = S HU Z e a (a ) ． (9. 3) 以 Gibbs 分布为分布的随机场称为 Gibbs 场，即 P(x =a ,"x ÎG) = p (a) x x ． 就是说，Gibbs 分布p是随机场在所有的格点处取值的联合分布． 在第 6,7 章中的 Ising 模型中的 Gibbs 分布, 就是这里的 Gibbs 场的概率分布的特殊情 形, 即 L = 2 , 自旋空间为{-1,1} 的情形，其对应的位势是紧邻的(而把外场看成格点对自 己的作用的和). Ising 模型中 Gibbs 分布中有一个倒温度参数, 这是为了调节用的. 这里 无妨省去. 再则, 由于在不同的邻域中的科学家有他们习惯用的记号, 所以, 在本节中的记号与第 6,7 章中用的有些不同, 请读者见谅由于记号改动所带来的不便. 我们列出其对比: a b p x h a p b , 6,7 , , 本节 第 章 组态 配称分布 倒温度 t Xt x 随机场 . 在第 6,7 章中, 由于 Ising 模型较为简单, 我们只提出了 Gibbs 分布的概念, 而并未提出随 机场的概念. 事实上, Gibbs 分布是 Gibbs 随机场的不变分布（ 有的文献中 Gibbs 分布与 Gibbs 随机场的术语是混用的）．因此在第 6,7 章中, 我们如很多书上那样用x ,h 表示组态. 而在本节中, 我们强调的是随机场, 它用x ,h 表示更为合适, 所以我们就与很多书上不一样, 改用a, b 表示组态. 定理 9.1１ (Hammersley-Clifford 基本定理) 对于给定的相邻系统¶ , ¶ -Markov 随机场与¶ -邻位势 Gibbs 场是一样的. 】 这个定理的意义在于, 用¶ -Markov 随机场来描述图象是一个直观认识, 而用¶ -邻位 势 Gibbs 场则可归结为其能量函数, 后者有时可以用简单的参数来表达(例如相互作用具有 平移不变性的时候). 那时就可用几个参数来描述图象. 从而可以达到信息压缩的目的. 于