临沂师范眈品祖氩骨析髁外训旅方囊 又若φ(x)≠0,x∈[a,b],则上述命题(1)可逆,即当∫(x)在[a,b]存在原函数F(x)时, g(l)在[a,B]上也存在原函数G(u),且G(u)=F(q(au)+C,即 g(u)m(令n=(x)=∫(0(x)p(x)d=(x)x=F()+C(代回x=9-() F(q-(u)+C。 5.若(x)与vx)可导,不定积分n(x)v(x)dr存在,则不定积分(x)(x)d也存 在,且(x)r(x)dx=xo(x)-Jm(x)(x) ∫a(x)h(x)=以xr(x)-j(x)(x), 、基本要求 1.积分法是微分法的逆运算。要求学生:深刻理解不定积分的概念,掌握原函数与不 定积分的概念及其之间的区别:掌握不定积分的线性运算法则,熟练掌握不定积分的基本积 分公式 2.换元积分公式与分部积分公式在本章中处于十分重要的地位。要求学生:牢记换元 积分公式和选取替换函数(或凑微分)的原则,并能恰当地选取替换函数(或凑微分),熟 练地应用换元积分公式:牢记分部积分公式,知道求哪些函数的不定积分运用分部积分公式, 并能恰当地将被积表达式分成两部分的乘积,熟练地应用分部积分公式;独立地完成一定数 量的不定积分练习题,从而逐步达到快而准的求出不定积分。 3.有理函数的不定积分是求无理函数和三角函数有理式不定积分的基础。要求学生 掌握化有理函数为分项分式的方法:会求四种有理最简真分式的不定积分,知道有理函数的 不定积分(原函数)还是初等函数;学会求某些有理函数的不定积分的技巧;掌握求某些简 单无理函数和三角函数有理式不定积分的方法,从理论上认识到这些函数的不定积分都能用 初等函数表示出来。 四、典型例题 例1 解:设x=√2tant有dx=√2sec2tdt.利用辅助三角形,有临沂师范学院精品课程 数学分析 课外训练方案 又若ϕ′(x) ≠ 0，x ∈[a,b] ，则上述命题（1）可逆，即当 在 存在原函数 时， 在 f (x) [a,b] F(x) g(u) [α, β ]上也存在原函数G(u) ，且G(u) = F u + C ，即 − ( ( )) 1 ϕ ∫ g(u)du （令u = ϕ(x)) ∫ ∫ = g(ϕ(x))ϕ′(x)dx = f (x)dx = F(x) + C （代回 ( )) 1 x u − = ϕ F u + C 。 − ( ( )) 1 ϕ 5. 若u(x) 与v(x) 可导，不定积分 ∫ u′(x)v(x)dx 存在，则不定积分 ∫ u(x)v′(x)dx 也存 在，且 ∫ u(x)v′(x)dx = u(x)v(x) − ∫ u′(x)v(x)dx ， 即 ∫ ∫ u(x)dv(x) = u(x)v(x) − v(x)du(x) ， 三、基本要求 1. 积分法是微分法的逆运算。要求学生：深刻理解不定积分的概念，掌握原函数与不 定积分的概念及其之间的区别；掌握不定积分的线性运算法则，熟练掌握不定积分的基本积 分公式。 2. 换元积分公式与分部积分公式在本章中处于十分重要的地位。要求学生：牢记换元 积分公式和选取替换函数（或凑微分）的原则，并能恰当地选取替换函数（或凑微分），熟 练地应用换元积分公式；牢记分部积分公式，知道求哪些函数的不定积分运用分部积分公式， 并能恰当地将被积表达式分成两部分的乘积，熟练地应用分部积分公式；独立地完成一定数 量的不定积分练习题，从而逐步达到快而准的求出不定积分。 3. 有理函数的不定积分是求无理函数和三角函数有理式不定积分的基础。要求学生： 掌握化有理函数为分项分式的方法；会求四种有理最简真分式的不定积分，知道有理函数的 不定积分（原函数）还是初等函数；学会求某些有理函数的不定积分的技巧；掌握求某些简 单无理函数和三角函数有理式不定积分的方法，从理论上认识到这些函数的不定积分都能用 初等函数表示出来。 四、典型例题 例 1. ∫ + 2 2 x dx . 解： 设 x = 2 tant ， 有 dx tdt 2 = 2 sec . 利用辅助三角形, 有 - 2 -