「。f()d=∫。fp)dp-Jfm)中(积分定义) =J,dr(xy)-「,dnf(x,ydy(由(1)得) 「,dxf(x,ydy-r(xyy(积分的线性) dx f(x, y)dy (积分定义),证毕 注531同理∫。f()d=。dJ,f(x,y成立,当然定理叙述及 证明过程中某些字母要作相应的对调,此处不赘述 注5.3.2从 Fubini定理可以看出,只要重积分有限,则两个累次积分应 相等,这是否定可积性的一个重要方法 例5.3.1设f(x,y)=rx-y2 定义在E=(0,1)×(0,1),则 y dx f(x, y)dy dx dy 11-2dx=r .,9=0+y 故f(x,y)在E上不可积。∫A×B f(p)dp＝∫A×B f + (p)dp－∫A×B f − (p)dp (积分定义) ＝∫A dx ∫B f + (x,y)dy－ ∫A dx ∫B f − (x,y)dy (由(1)得) ＝∫A dx[ ∫B f + (x,y)dy－ ∫B f − (x,y)dy] (积分的线性) ＝∫A dx ∫B f(x,y)dy。 (积分定义),证毕. 注５.3.１ 同理∫A×B f(p)dp＝∫B dy ∫A f(x,y)dx 成立，当然定理叙述及 证明过程中某些字母要作相应的对调，此处不赘述。 注５.3.２ 从 Fubini 定理可以看出，只要重积分有限， 则两个累次积分应 相等，这是否定可积性的一个重要方法。 例５.3.１ 设 f(x,y)＝ [ ]2 2 2 2 2 x y x y + − 定义在 E＝(0,1)×(0,1)，则 ∫A dx ∫B f(x,y)dy＝∫[ ] 0,1 dx ∫[ ] 0,1 [ ]2 2 2 2 2 x y x y + − dy ＝∫[ ] 0,1 2 1 1 + x dx＝ 4 π ∫B dy ∫A f(x,y)dx＝∫[ ] 0,1 dy ∫[ ] 0,1 [ ]2 2 2 2 2 x y x y + − dx ＝∫[ ] 0,1 2 1 1 + y − dy＝- 4 π 故 f(x,y)在 E 上不可积