对(R)积分而言重积分可以化为累次积分来计算,对()重积分可以化为累次 积分来计算吗? Fubini不仅对此作出了肯定的回答,而且还去掉了许多繁琐的 条件限制。 定理5.3.2( Fubini)(1)设f(P)=f(x,y)为A×BcRq(其中A∈RP, BcR且均为可测集)上的非负可测函数,则对几乎所有的x∈A,f(x,y)作为y 的函数在B上可测,J。f(x,y)dy作为x的函数在A上可测,且Jf(p)dp= dx f(x, y)dy (2)设f(P)=f(x,y)为AXB<R(其中AcR",BcR"且均为可测集)上 的可积函数,则对几乎所有的x∈A,f(x,y)作为y的函数在B上可积, f(x,y)dy作为x的函数在A上可积,且Jf(p)dp=J,dxJf(,y) 证明(1)由第四章定理知:G(f,AxB)是RP中的可测集,则几乎对所 有的x,(G(,AxB)为可测集,函数m(G(,AxB)是a.e于A×B有定 义的非负可测函数,又由积分值定义得 mG(,A×B)=∫f(d (积分定义) 「nm0G(,4×B)2dx(由定理5.4.1知 ∫()peB0≤:<(xy x∈A 由于R(G(,AxB)x=d,xA, ,所以对于 x∈A,这截面实际上是将x固定后,f(x,y)看成是y的函数时在B上的下方图 形,即f(x,y)=m(am)xy,于是这截面可测,且由前述定理5.4.1有:m (G,AxB):=。f(x,ydy,故 f(p)d dx。f(x,y) (2)设f(p)在A×B上可积,则f(p)、f(p)均在A×B上可积,且对(R)积分而言重积分可以化为累次积分来计算，对(L)重积分可以化为累次 积分来计算吗？Fubini 不仅对此作出了肯定的回答，而且还去掉了许多繁琐的 条件限制。 定理５.3.２ (Fubini) (1)设 f(P)＝f(x,y)为 A×B⊂ R p+q (其中 A⊂ R p ， B⊂ R q 且均为可测集)上的非负可测函数，则对几乎所有的 x∈A，f(x,y)作为 y 的函数在 B 上可测，∫B f(x,y)dy 作为 x 的函数在 A 上可测，且∫A×B f(p)dp＝ ∫A dx ∫B f(x,y)dy (2) 设 f(P)＝f(x,y)为 A×B⊂ R p+q (其中 A⊂ R p ，B⊂ R q 且均为可测集)上 的可积函数，则对几乎所有的 x∈A，f(x,y)作为 y 的函数在 B 上可积， ∫B f(x,y)dy 作为 x 的函数在 A 上可积，且∫A×B f(p)dp＝∫A dx ∫B f(x,y)dy 证明 (1) 由第四章定理知：G ( f , A× B) 是 R p+q+1 中的可测集，则几乎对所 有的 x，（G ( ) f , A× B ） x 为可测集，函数 m（G ( f , A× B)） x 是 a.e 于 A×B 有定 义的非负可测函数， 又由积分值定义得 mG ( ) f , A× B ＝∫A×B f(p)dp (积分定义) ＝∫ p R mG ( ) f , A× B x dx (由定理５.４.１知) 由于 R q+1 ⊃ （G ( ) f , A× B ） x ＝ {( ) ( )}    Φ ∉ ∈ ≤ < ∈ , , , ,0 , , x A y z y B z f x y x A ,所以对于 x∈A，这截面实际上是将 x 固定后，f(x,y)看成是 y 的函数时在 B 上的下方图 形,即 f(x,y) ＝m (f,B) ( , ) (G ) x y = ，于是这截面可测，且由前述定理５.４.１有：m （G ( ) f , A× B ） x ＝ ∫B f(x,y)dy，故 ∫A×B f(p)d p ＝∫A dx ∫B f(x,y)dy。 (2) 设 f(p)在 A×B 上可积，则 f + (p)、f − (p)均在 A×B 上可积，且