=imm(G),dx(由(2) =1m(G"),dx(由控制收敛定理 m:dx。(由内极限定理) (4)E为零测度情形:设E是R中零测度集,彐G6型集GE满足mE=mG 0,由(3)知0 mG,dx,据积分唯一性定理得mG,=0a.e于R",又 G=E,从而更有mEn=0a.e于R",所以m在R"上可测,且mE=[mEdx。 (5)E为一般有界可测集的情形:设E=G一N,其中G为G。型集,N为零测 度集(可测集的构造定理)。由于E2=Gx-N2。所以由(4)得m:=mGx-mN mG。a.e于R°,从而m,在R”上可测,且m=mG=「mG,dx (二)当E为无界可测集时 设E=∪E,其中mE<+∞,且E彼此互不相交,则E2=UE 由(一)知(E)是R中可测集,所以E,也可测。又因E)互不相交,所以m =∑m(E),。由(-)知各m(E)是R"上的可测函数,所以m,也是R上的 可测函数,且=∑m=∑「。m(E),d=。∑mE)2=「 证毕. 推论5.3.1设f是定义在E上的非负函数,且下方图形G(f,E)是可测集, 则f在E上可测。 证明显然m(G(,E),=f(x),由定理5.3.12)知结论成立。证毕＝n→∞ lim ∫ n R m(G n ) x dx (由(2)) ＝∫ n R n→∞ lim m(G n ) x dx (由控制收敛定理) ＝∫ n R mE x dx。 (由内极限定理) (4) E 为零测度情形：设E是R p+q 中零测度集，ョ Gδ 型集 G ⊃ E 满足 mE＝mG ＝0，由(3)知 0＝mG＝∫ n R mG x dx，据积分唯一性定理得 mG x ＝0 a.e 于 R p ，又 G x ⊃ E x 从而更有 mE x ＝0 a.e 于 R p ，所以 mE x 在 R p 上可测，且 mE＝∫ n R mE x dx。 (5) E 为一般有界可测集的情形：设 E＝G－N，其中G为G δ 型集，N 为零测 度集(可测集的构造定理)。由于 E x ＝G x －N x 。所以由(4)得 mE x ＝mG x －mN x ＝ mG x a.e 于 R p ，从而 mE x 在 R p 上可测，且 mE＝mG＝ ∫ n R mG x dx＝∫ n R mE x dx (二) 当 E 为无界可测集时 设 E＝U ∞ i=1 E i ，其中 mE i ＜＋∞，且 E i 彼此互不相交，则 E x ＝U ∞ i=1 (E i ) x ， 由(一)知(E i ) x 是 R q 中可测集，所以 E x 也可测。又因(E i ) x 互不相交，所以 mE x ＝∑ ∞ i=1 m(E i ) x 。由(一)知各 m(E i ) x 是 R p 上的可测函数，所以 mE x 也是 R p 上的 可测函数，且 mE＝∑ ∞ i=1 mE i ＝∑ ∞ i=1 ∫ n R m(E i ) x dx＝ ∫ n R ∑ ∞ i=1 m(E i ) x ＝ ∫ n R mE x dx。 证毕. 推论５.3.１ 设 f 是定义在 E 上的非负函数，且下方图形 G ( ) f , E 是可测集， 则f在E 上可测。 证明 显然 m(G ( ) f , E ) x ＝f(x)，由定理５.3.１ 2)知结论成立。证毕