(1)E为R中左开右闭(开、闭)区间的情形:设E=△1×△2,其中△1, △2分别为R",R”中相应的左开右闭(开、闭)区间,则 E A2x∈△ ,xg△1 ,故E,是R"中可测集:亚,0.xgA1 故m,是R"上定义的简单函数:且m=1△1|×|△2|=m,dx (2)设E为开集的情形:设E=∪I,其中I是R中互不相交的左开右 闭区间,则E,=∪(1)x,由(1)知(1)x是R中可测集,所以E也可测。 又因(I),互不相交,所以m,=∑m(I)x。由(1)知各m(I),是R上的可 测函数,所以m,也是R"上的可测函数,且m=∑m=2』。m(1),x m(ii).dx= (3)E为G集的情形:设E=∩G,其中G是R”中的开集,且可要求 G13G23,…,3Gn3,…(若不然,令0=∩G即可),则E=∩(G)x, 由(2)知(G)是R中可测集,所以E,也可测。又因为mG1)<+∞,且 (G1),(G2) 由内极限定理知mE= limm(gm),。由 (2)知各m(G")是R"上的可测函数,所以皿E也是R上的可测函数。且 (由内极限定理)(1) E 为 R p+q 中左开右闭(开、闭)区间的情形：设 E＝△1×△2 ，其中△1， △2 分别为 R p ，R q 中相应的左开右闭(开、闭)区间，则 E x ＝    Φ ∉ ∆ ∆ ∈ ∆ 1 2 1 , , x x ，故 E x 是 R q 中可测集；mE x ＝    ∉ ∆ ∆ ∈ ∆ 1 2 1 0, , x x 故 mE x 是 R p 上定义的简单函数；且 mE＝|△1 |×|△2 |＝∫ n R mE x dx。 (2) 设 E 为开集的情形：设 E＝U ∞ i=1 I i ，其中 I i 是 R p+q 中互不相交的左开右 闭区间，则 E x ＝U ∞ i=1 (I i ) x ，由(1)知(I i ) x 是 R q 中可测集，所以 E x 也可测。 又因(I i ) x 互不相交，所以 mE x ＝∑ ∞ i=1 m(I i ) x 。由(1)知各 m(I i ) x 是 R p 上的可 测函数，所以 mE x 也是 R p 上的可测函数，且 mE＝∑ ∞ i=1 mI i ＝∑ ∞ i=1 ∫ n R m(I i ) x dx ＝∫ n R ∑ ∞ i=1 m(I i ) x dx＝∫ n R mE x dx。 (3) E 为 Gδ 集的情形：设 E＝I ∞ i=1 G i ，其中 G i 是 R p+q 中的开集，且可要求 G1 ⊃ G 2 ⊃ ,..., ⊃ G n ⊃ ,... (若不然，令 O n ＝I n i=1 G i 即可),则 E x ＝I ∞ i=1 (G i ) x ， 由(2)知(G i ) x 是 R q 中可测集，所以 E x 也可测。又因为 m(G1 ) x ＜＋∞，且 (G1 ) x ⊃ (G 2 ) x ⊃ ,..., ⊃ (G n ) x ⊃ ,...由内极限定理知 mE x ＝n→∞ lim m(G n ) x 。由 (2)知各 m(G n ) x 是 R p 上的可测函数，所以 mE x 也是 R p 上的可测函数。且 mE＝n→∞ lim mG n (由内极限定理)