§5.3 Fub in i定理 我们定义 Lebesgue积分的初衷之一是求函数下方图形G(/,E)(以非负函数 为例)的测度,然而到目前为止,我们只定义了可测函数的积分,是否有下方图 形G,B是可测集,因本身不是可测函数的f而未定义积分值呢?下述截面定理 将让我们打消此顾虑。为此,我们先引入截面概念。 定义5.3.1设E是R中一点集,x0∈RP,yo∈R,则将{y|y∈R", (x°,y)∈E}sR",{x|x∈R",(x,y0)∈E}sR",分别称为E关于x0的截 面和E关于y的截面。并分别用E,E记之。 容易验证:截面具有下列简单性质: (1)如果AsA2,则(A)xS(A2)x (2)如果A∩A2=中,则(A)x∩(A2)x=中 (3)(UA)x=U(A)x,则(∩A)x=∩(A)x (4)(A1-A2)=(A1)一(A2) 定理5.3.1(截面定理)设E是R中一可测点集,则 (1)对于RP中几乎所有点x,E,是R中可测集 (2)mE,作为x的函数,是在R上几乎处处有定义的可测函数 me dx 证明(-)当E为有界可测集时。§５.3 Fubini 定理 我们定义 Lebesgue积分的初衷之一是求函数下方图形 G ( f , E) (以非负函数 为例)的测度，然而到目前为止，我们只定义了可测函数的积分，是否有下方图 形 G ( f ,E) 是可测集，因本身不是可测函数的 f 而未定义积分值呢？下述截面定理 将让我们打消此顾虑。为此，我们先引入截面概念。 定义５.3.１ 设 E 是 R p+q 中一点集，x 0∈R p ，y 0∈R q ， 则将｛y｜y∈R q ， (x 0 ,y)∈E｝⊆ R q ，｛x｜x∈R p ，(x,y 0 )∈E｝⊆ R p ，分别称为 E 关于 x 0的截 面和 E 关于 y 0的截面。并分别用 E 0 x ，E 0 y 记之。 容易验证：截面具有下列简单性质： (1) 如果 A1 ⊆ A 2 ，则(A1 ) x ⊆ (A 2 ) x (2) 如果 A1∩A 2 ＝φ，则(A1 ) x ∩(A 2 ) x ＝φ (3) (∪A i ) x ＝∪(A i ) x ，则(∩A i ) x ＝∩(A i ) x (4) (A1－A 2 ) x ＝(A1 ) x －(A 2 ) x 定理５.3.１(截面定理)设E是R p+q 中一可测点集，则 (1) 对于 R p 中几乎所有点 x，E x 是 R q 中可测集； (2) mE x 作为 x 的函数，是在 R p 上几乎处处有定义的可测函数； (3) mE＝∫ n R mE x dx 证明 (一)当 E 为有界可测集时