第三章 微分中值定理与导数的应用 高等数学少学时 证设Rn(x)=f(x)-pn(x) ,由假设知， R.(x)在(a,b)内具有直到(+1)阶导数，且 R(xo)=R (xo)=R (xo)=...=R((xo)=0. 由柯西中值定理，在以x,与x为端点的区间上 R (x) Rn（x)-Rn(xo)_ Rn(5) (x-x0)1-(x-七)*1-0 n+0(-,)口，(5在七与x之间 Rn(5) R,()-R (xo) Rn(52) (n+1)(51-xo)”(n+1)(51-x)”-0 n+1)(52-x)"-’ (52在x。与51之间)， 北京邮电大学出版社 55 证 R (x) f (x) p (x), 设 n = − n 由假设知, R (x) n 在(a, b)内具有直到(n+1) 阶导数，且 ( ) ( ) ( ) ( ) 0. 0 ( ) 0 0 0 = = =  =  R x = R x R x R x n n n n  n 由柯西中值定理， 1 0 ( ) ( ) + − n n x x R x ( ) 0 ( ) ( ) 1 0 0 − − − = n+ n n x x R x R x , ( 1)( ) ( ) 1 0 1 n n n x R + −  =   ( )  1 在 x0 与 x 之间 , 在以x0与x为端点的区间上 n n n x R ( 1)( ) ( ) 1 0 1 + −    ( 1)( ) 0 ( ) ( ) 1 0 1 0 + − −  −  = n n n n x R R x   , ( 1)( ) ( ) 1 2 0 2 − + −  = n n n n x R   ( ).  2 在 x0 与 1 之间