第二学期第九次课 第六章§4四维时空空间与辛空间 在狭义相对论中,用三个空间坐标和一个时间坐标来刻画一个物体的运动,称为四维时 空空间 在R上规定一个特殊的度量f(a,B)=x1y1+x2y2+x3y3-x4y4(其中 a=(x1,x2,x3,x4),B=(y1,y2,y3,y)"),称为四维时空空间的度量 令 000 在R内取定基 E3=(0,0,1,0),E4=(0,0,0,1) ka=(8, 82, 3, 4)X, B=(E1, 82, 83, E4)Y, f(a, B)=XTr 如果R4上的线性变换A关于上述内积是正交变换,则称为广义洛仑兹变换 命题4.1设A是四维时空空间R4上的一个线性变换,则有 (i)A为广义洛仑兹变换分→它在基E1,E2,E3,E4下的矩阵A满足A'A=l; (ii)实数域上4阶方阵A满足A'MA=分→它满足ALA'=l (i如果A为广义洛仑兹变换,设它在基s1,E2,E3,E4下的矩阵为A=(an),则 la4|≥1 证明(i)A为广义洛仑兹变换→f(Aa,AB)=f(a,B)分X(AMy=XmY,而这 又等价于A'LA=I (i)若AMA=1,则AMA=12=E,这说明A是/的逆于是(MADA=E,两边左 乘I,得ALA'=I 反之,若AA=1,则LAA=12=E,于是ALAI=E,两边右乘l,得AA= (ii1)按(i),有AMA=l,考察两边方阵的第四行第四列元素,得第二学期第九次课 第六章 §4 四维时空空间与辛空间 在狭义相对论中,用三个空间坐标和一个时间坐标来刻画一个物体的运动,称为四维时 空空间. 在 R 4 上规定一个特殊的度量 f( ,  )= 1 1 2 2 3 3 4 4 x y + x y + x y − x y ( 其 中  =( , , , ) 1 2 3 4 x x x x  ,  =( , , , ) 1 2 3 4 y y y y  ),称为四维时空空间的度量. 令             0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 I － ＝ 在 R 4 内取定基 1  ＝（1，0，0，0）， 2  ＝（0，1，0，0）， 3  ＝（0，0，1，0）， 4  ＝（0，0，0，1） 设  ＝( 1  ， 2  ， 3  ， 4  )X,  =( 1  ， 2  ， 3  ， 4  )Y,则 f( ,  )= X IY . 如果 R 4 上的线性变换 A 关于上述内积是正交变换,则称为广义洛仑兹变换. 命题 4.1 设 A 是四维时空空间 R 4 上的一个线性变换,则有: (i)A 为广义洛仑兹变换  它在基 1  ， 2  ， 3  ， 4  下的矩阵 A 满足 AIA = I ; (ii)实数域上 4 阶方阵 A 满足 AIA = I  它满足 AIA = I ; (iii)如果 A 为广义洛仑兹变换,设它在基 1  ， 2  ， 3  ， 4  下的矩阵为 A ( ) = aij ,则 | 44 a |  1. 证明 (i) A 为广义洛仑兹变换  f(A  ,A  )=f(  ,  )  X (AIA)Y = X IY ,而这 又等价于 AIA = I . (ii)若 AIA = I ,则 AIAI = I = E 2 ,这说明 A是IAI的逆,于是(IAI)A = E ,两边左 乘 I,得 AIA = I . 反之,若 AIA = I ,则 , , , 2 IAIA = I = E 于是AIAI = E 两边右乘I 得 AIA = I . (iii) 按(i),有 AIA = I ,考察两边方阵的第四行第四列元素,得