a14+a24+a 即a4=a24+a24+a2+1≥1,于是|a4P1 向量(x1,x2,x2,x4)如果满足x12+x2+x32-x2<0则则称为类时向量若还有 x4>0则称为正类时向量 若a4≥1,则称A为洛仑兹变换 命题广义洛仑兹变换是洛仑兹变换的充分必要条件是它在正类时向量上的作用封闭 证明设A在基E1,E2,63,E4下的矩阵为A=(an),如果a=(x1,x2,x3,x4)为正类 时向量,则Aa在E1,E2,E3”,E4下的坐标为 24 x 因A为广义洛仑兹变换,故 =f(Aa, Aa=f(a, a) 即Aa仍为类时向量.而 x4=a41x1+a42x2+a43x3+a4x4 由于ALA'=I,比较两边第四行第四列元素,有 由柯西一布尼雅可夫斯基不等式,得 a42x32≤(a21+a2+a23)( (a4-1)x2<ax2 即|a41x1+a42x2+a43x3ka4x4|现因a为正类时向量,故x4>0.由此可知 x4>0分a421 命题得证1 2 44 2 34 2 24 2 a14 + a + a − a = − 即 1 1, | 44 | 1 2 34 2 24 2 14 2 a44 = a + a + a +  于是 a  . 向量( , , , ) 1 2 3 4 x x x x  如果满足 0 2 4 2 3 2 2 2 x1 + x + x − x  则则称为类时向量,若还有 x4  0 则称为正类时向量. 若 a44 1,则称 A 为洛仑兹变换. 命题 广义洛仑兹变换是洛仑兹变换的充分必要条件是它在正类时向量上的作用封闭. 证明 设 A 在基 1  ， 2  ， 3  ， 4  下的矩阵为 A ( ) = aij ,如果 ( , , , ) 1 2 3 4  = x x x x 为正类 时向量,则 A  在 1  ， 2  ， 3  ， 4  下的坐标为                   =                         4 3 2 1 4 3 2 1 41 42 43 44 31 32 33 34 21 22 23 24 11 12 13 14 x x x x x x x x a a a a a a a a a a a a a a a a 因 A 为广义洛仑兹变换,故 2 4 2 3 2 2 2 1 x  + x  + x  − x  =f(A  ,A  )=f(  , ) = 2 4 2 3 2 2 2 1 x + x + x − x <0 即 A  仍为类时向量.而 4 41 1 42 2 43 3 44 4 x  = a x + a x + a x + a x 由于 AIA = I ,比较两边第四行第四列元素,有 1 2 44 2 43 2 42 2 a41 + a + a − a = − 由柯西-布尼雅可夫斯基不等式,得 + +  2 41 1 42 2 43 3 | a x a x a x | ( 2 43 2 42 2 a41 + a + a )( 2 3 2 2 2 1 x + x + x ) <( 2 4 2 44 2 4 2 44 a −1)x  a x 即 | | | | 41 1 42 2 43 3 44 4 a x + a x + a x  a x .现因  为正类时向量,故 x4  0.由此可知 x4   0  a44 1 命题得证