由酸的凸性,(y:3)M,所以(y:3)x2≥63,因此 0≤y-312≤ 62=0. 因而y-3!=0,即g=y,这就证明了唯一性,证毕 当是X的完备子空间时,M当然是X中的凸集,所以由定理 1,立即可以得到下面的推论 推论1设X是内积空间,M是X的宅备子空间,则对每个 r∈M,存在唯一的孤M,使 dr-y=d(a, m) 极小化向量定理是内积空间的一个基本定理,它在微分方程, 现代控制论和遥近论中有重要应用 下面引人内积空间中向量正交的概念 定义1设X是内积空间,x,3是X中两个向量,如果 〈x,y)=0 则称x与3互相垂直或正交,记为x⊥3.如果X的子集A中每个 向量都与子集B中每个向量正交,则称A与B正交,记为A⊥B,特 别当A只含有一点x时,则称x与B正交,记为xLB 容易知道,对X中两个互相正交的向量c和y成立勾股公式 lz+3!2=〖ax|2+y 有了向量正交的概念,类似于有限维欧几里得空间就可以在 一般的内积空间中建立起相应的几何学 引理1设X是内积空间,M是X的线性子空间,∈x,若存 在张∈M,使得|x-y]=以(x,M),那么,x-g⊥M 证明令z=z-3若名不垂直于M,那么必有y∈M,使得 y1与0. 显然y1与0,另一方面,对任何复数a,有 11>51