设x是线性空间,x,是X中两点,称集合 x=ax+(1-a);0≤≤I} 为x中联结点x和y的线段,记为[x,引].如果M是X的子集,对 M中的任何两点x,引,必有[x,]cM,则称M为X中的凸集 定理1(极小化向量定理)设X是内积空间,M是X中非空 凸集,并且按X中由内积导出的距离完备,那末对每个∈X,存在 唯一的y∈M,使得 lry=d(r, M). 证明令8=d(x,M),由下确界定义,存在v∈M,n=1,2, 3,…,使 6=1x-yn→δ.(n->∞) 令 则|v=n,且 lvn +vmI=Iyntga-2x=2(3x+g 因为M是凸集,所以青(n+m)∈M,由此可得{n+m≥26.又 因为3x-ym=-Dm,由平行四边形公式,有 JvR+Umi2+2(v12+vml) ≤-(26)2+2(2+6) 由(4)式,知{m}是M中柯西点列,但M按内积导出的距离完 备因而存在yM,使→3,因为yM,所以,x-y≥d,但是 x-y5≤x-yy-3x|=n+【yn-y 上面不等式右端当n->∞时,极限为b,所以得到x-y!=8. 若又有y∈M,使得|z-3!=0,由平行四边形公式, l3-312=(y-x)-(y-z)2 2y-x2+213-212-(y-z)+(-x)12 82+282-4n(y+y)-50