设x为内积空间,由(3)给出了X上的范数,反之,通过直接计 算,读者不难证明,内积与范数之间成立如下等式 x,2y)=4(列2-1-12+x+iy1-1x-131).(8) (8)式称为极化恒等式,它表示内积可以用范数来表示,当X为实 内积空间时,极化恒等式变为 x,})(!x+y2-|x-3‖2) 由 Schwarz不等式,立即可知内积是两个变元的连续函数, 即当x→>x,3m→y时,有〈x,3n》→〈x,引),事实上,因为 i(ax,y)-<xn,yn〉|≤|x,y-yn》|+|x-xn,3n〉 ≤|x·y-3x!+lx-zn!3n 因到收敛,故yn】有界,所以当n→∞时,上面不等式右端趋于0, 因而<xa,3n)>(x,3 §2.投影定理 设X是度量室间,M是K的非空子集,x是X中一点,称 inf d(z, y) 为点x到M的距离记为d(x,M).在线性赋范空间中 d(e, M)=inf z-y (1) y∈M 在许多数学问题中(例如函数遥近论)常常会提出这样的问 题:是否存在张∈M,使 d(r, M)==r-y? 如果存在这样的g,是否唯一?容易明白,如果不对M加上一些限 制,即使在有限维欧氏空间中,对这个问题的回昝也是不肯定的 但当』是内积空间中的完备凸子集时,对这个问题可以得到肯定 的回咎,为此,先介绍凸集的概念49