第4讲矩阵运算 15 8511「-1 =-274 5 -15-159 11198 14-721 326-13 1231「3-131 5617 (3)BA7=-1-2 4 51-3 012 51122 例1涉及矩阵的加减法、乘法(乘方)及转置等多种运算,这些运算结果使我们注意到了 许多新问题 注意例中A,B都是同阶方阵,AB与BA都有意义,但AB≠BA.这表明,代数乘法运 算中的交换律 b=ba(a,b为任意实数) 在矩阵运算中不成立.换言之,一般情况下矩阵乘法不满足交换律.原因何在?这得从定义 人手.例1中的积矩阵AB的元素c等于左矩阵A的第i行与右矩阵B的第j列对应元素 相乘之后相加.如AB的c1=3×1+1×2+0×3=5,按定义,积矩阵BA中的cn=1 3+(-1)×(-1)+0×3=4它们分别是不同的数相乘之后相加的结果,所以AB与BA 相同位置上的元素不相等就不足为怪了.有时甚至AB有意义,但BA却没意义,如 3 AB=(a,3x(,)x=(c)3x=20. 但BA没意义,因为左矩阵B的列数≠右矩阵A的行数即使AB与BA都有意义,它们 的阶数也不一定相等.如: 2 [8y 10 2(1,0)= ,BA=(1,0) 11=(1)y 注意由于矩阵乘法不满足交换律,所以代数运算中的乘法对加法的分配律 a(b+c)=ab+ac=l+c=(b+c)a(a,b,c为实数) 就不能毫无保留地套搬到矩阵运算中来.这时,矩阵乘法对加法的分配律有两条 (1)A(B+C)=AB+AC(左分配律); (2)(B+C)A=BA+CA(右分配律) 此,在矩阵运算中,左乘矩阵与右乘矩阵就绝不是一回事了!