16 线性代数重点难点30讲 注意在代数运算中若ab=0,则可知a=0或b=0.由矩阵乘法定义不难看出虽然 矩阵A非零矩阵矩阵B非零矩阵,但其积AB可能是零矩阵.这是因为虽然A的第;行的 元素an,a,…,am不全为0,B的第j列的元素b,b2…,b也不全为0,但这些元素对应 乘积的代数和∑a2b,即AB中的元素c可能为0.如 1-1J1-1 00 可见,在矩阵运算中,消去律不成立.即 AB=AC,不一定有B=C(当A≠O时) 在例1中我们计算出 5-55 AB=6111 (AB)=-51-3=BA 17322」 51122 这种相等的关系不是偶然的,但它与我们熟悉的代数运算中的(ab)"=a"b"(a,b为实 数,n为自然数)迥然不同 注意矩阵的转置运算满足反序定律,即(AB)=BA,一般地可证(A1A2…A,)T= AA1…42A1.事实上,当5=2时,有(A1A2)=AA1,结论成立;设结论对s-1成立 则对于s有(A1A2…A-A)=[(A1A2…A-1)A,=A(A1A2…A1)= AA1…AA1.特别有(A)=(A)*(k为整数) 在例1中还涉及了减法运算 注意在代数运算中加减计算总是可以进行的.设a,b为实数,则一定有唯一的实数 c,使a±b=c.但是在矩阵运算中,具有相同的行、列的矩阵才能相加减 111 例2设A=222,求A L333 解根据矩阵A的特点,可写成两矩阵之积 A=2222(1,1,1)=BC,这里B/1 1111「1 2,C=(1,1,1), 333L3 所以A=(BC) =(BC)(BC、BC)=B(CB)(CB)(CB)C(运用矩阵的结合律), 100个BC