第三讲曲线论 2001年10月26 1平面曲线 我想这几次跟大家讲一点微积分在几何上的应用.这是非常要紧的发展 那么,从最简单的情况开始,我们就讲平面上的曲线.假设平面上有一条曲 线x()=(x1(t),x2(1),即在这个图上所在的情况.用微积分的话呢,就是这 条曲线有条切线切线有个切矢量.对于切矢量,我们取这个矢量是单位矢 量,它的长度是1,也就是取为单位切矢量.于是我们知道假使把坐标x表示 成弧长s的函数的话,这就表示这个单位切矢量就是x对s的微分芸,即单位 切矢量为 e1=dndr2)a2)=1,s是弧长,en0(3.1) 那么怎么样研究这条切线呢?很简单,那就是有了一个单位切矢量之后,并 假设如果平面是定向的,即有一个转动的方向,那么它就有一个单位法向量, 也就是跟它垂直的那个单位矢量.现在,我叫e1是单位切矢量,e2是单位法 矢量.于是要得到这条切线的性质,第一件事情就是把e1这个函数对于s再求 微分.那么再求微分之后,当然这是一个新的矢量.因为e1是一个单位矢量 所以(e1,e1)=1.那么把它微分一下子,我们就得到同e1垂直,所以它 定在法线的方向.因此,我们就有尝等于单位法矢量e2的倍数.这个倍数是 弧长的一个函数,我们叫k(s).这个倍数满足 ke2,e2是单位法矢量,(e,e2)=0 32) k这个函数一般叫做曲率,是这条曲线在这个平面里头最要紧的一个性质, 是弧长的一个函数 习题 对于给定的曲线方程,给出曲率k的公式.[提示:k是曲线方程的一阶和 二阶微分的一个函数➅➤❨ ▼✧❳ 2001★10Û26❺ 1 ➨➪▼✧ ➲✳❨✁✬❐▲✛❨✘➎❻è■ó✁❬Þ④❛⑦. ❨✹✿➒✞➏④✕✵. ￾➃, ✱✦❀❭④❁❨✌✮, ➲➣Ò❨➨➪Þ④▼✧. ✧÷➨➪Þ❿✘✣▼ ✧x(t) = (x1(t), x2(t)), ýó❨➬❈Þ➘ó④❁❨. ⑦❻è■④➏✑, Ò✹❨ ✣▼✧❿✣★✧. ★✧❿➬★✪Þ. é➉★✪Þ, ➲➣❘❨➬✪Þ✹❭➔✪ Þ, ➬④➓Ý✹1, ✎Ò✹❘➃❭➔★✪Þ. ➉✹➲➣⑧✇✧✫➨✰✮x✱✰ ➘➀➓s④❁❥④➏, ❨Ò✱✰❨➬❭➔★✪ÞÒ✹x és ④❻■dx ds ,ý❭➔ ★✪Þ➃ e1 = (dx1 ds , dx2 ds ),(e1, e1) = 1, s ✹➀➓. eqno(3.1) ￾➃✍➃øÏ➘❨✣★✧✑Ú✐❀❭, ￾Ò✹❿ê✘➬❭➔★✪Þ❷⑨, ❄ ✧÷➌✯➨➪✹➼✺④, ý❿✘➬Ý➘④✵✺, ￾➃➬Ò❿✘➬❭➔✛✺Þ, ✎Ò✹❐➬✒❺④￾➬❭➔✪Þ. ✙ó, ➲✇e1✹❭➔★✪Þ, e2 ✹❭➔✛ ✪Þ. ➉✹✞③t❨✣★✧④✉➓, ➅✘●✴❁Ò✹➨e1❨➬❁❥é➉sò❋ ❻■. ￾➃ò❋❻■❷⑨, ❤❧❨✹✘➬❝④✪Þ. ❖➃e1✹✘➬❭➔✪Þ, ➘✶(e1, e1) = 1. ￾➃➨➬❻■✘✆✝, ➲➣Ò③tde1 ds ✸e1✒❺, ➘✶➬✘ ➼ó✛✧④✵✺. ❖✩, ➲➣Ò❿de1 ds ⑧➉❭➔✛✪Þe2④õ❥. ❨➬õ❥✹ ➀➓④✘➬❁❥, ➲➣✇k(s). ❨➬õ❥✇✖ de1 ds = ke2, e2 ✹❭➔✛✪Þ,(e1, e2) = 0. (3.2) k❨➬❁❥✘➘✇✮▼●, ✹❨✣▼✧ó❨➬➨➪➦❃✦✞➏④✘➬✉➓, ✹➀➓④✘➬❁❥. ó☛: é➉➱➼④▼✧✵➬, ➱ñ▼●k ④Ú✯. [✡✰Õk✹▼✧✵➬④✘⑦❩ ✓⑦❻■④✘➬❁❥] 1