2空间曲线 从平面曲线再进一步怎么样呢?我们看看空间的情形.假设我们现在有 条曲线是空间的曲线x(t)=(x1(t),x2(t,x3(t).在3维空间里有切线,所以 这个空间的坐标x,y就表示为参数t的函数.这些东西你们大概都知道,我 再温习一下子.所以x(t)是一个矢量,它的分量就是点的坐标,而点是t的 函数.于是它就作一条切线,这3个分量叫做x(t)(=1,2,3).x(t)是一个矢 量,是参数的函数,它的3个分量就是把点的坐标表示为t的函数,那么怎么 进行呢?同样的方法就是对这条曲线用微积分.假定曲线有切线,并且在切 线上面有单位矢量,即有单位切矢量.对曲线有个方向,一直这么走,沿着 个方向,比如说参数t是增加的一个方向.总而言之,我们就有一个单位切 矢量,叫它e1,那么跟平面同样的情况,把e1这个函数对s再求微分,就等于 说对s求二阶的微分.因为e1是单位矢量,所以得到的这个微分跟e1是垂直 的.而对于一条空间中的曲线,它的切线是一条,它的法线有无数个.其实 经过这一点跟切线垂直的法线有无数个,那么其中有一个是会,它是不完全 确定的.由于同样的理由,我把这个方向的单位矢量叫做e2,那么它就是ke2 即可以写成 e2是其中一条法线,我们叫它为主法线( principal normal),而k这个函数与平 面的情形一样,叫做曲线的曲率.所以现在,我有一个切线的方向和一个主 法线方向.在三维空间就有另外一个方向跟这两个方向垂直,我们通常叫 它 binormal.总而言之,存在另外一个法线,所以它有两个法线.那么这两个 法线所成的平面就是法平面.曲线是1维的,切线是1维的,所以法线是2维的, 是个平面.那么有一个e3=e1×e2,其中e1×e2是矢量积.对于两个方向的 话,有一个确定的第三个方向是跟它们垂直的,并且使得e1,e2,e3成一个正 交系统.我们假定这个空间是定向的,右手,左手都有一个确定的方向.通 常我们都用右手,所以就有一个确定的e3满足 (ei, ei)=dij 22 ✽✲▼✧ ✱➨➪▼✧ò➓✘❩✍➃ø✑Ú➲➣✗✗✽✲④❁♦. ✧÷➲➣✙ó❿✘ ✣▼✧✹✽✲④▼✧x(t) = (x1(t), x2(t), x3(t)). ó3➅✽✲➦❿★✧, ➘✶ ❨➬✽✲④✰✮x, y Ò✱✰➃❦❥t ④❁❥. ❨❏➚Ü✜➣▲➊Ñ⑧✇, ➲ ò➜ó✘✆✝. ➘✶x(t) ✹✘➬✪Þ, ➬④■ÞÒ✹➎④✰✮, ✌➎✹t ④ ❁❥. ➉✹➬Ò✯✘✣★✧, ❨3➬■Þ✇✮xi(t)(i = 1, 2, 3). x(t)✹✘➬✪ Þ, ✹❦❥t④❁❥, ➬④3➬■ÞÒ✹➨➎④✰✮✱✰➃t ④❁❥, ￾➃✍➃ ➓q✑Ú✸ø④✵✛Ò✹é❨✣▼✧⑦❻è■. ✧➼▼✧❿★✧, ❄✪ó★ ✧Þ➪❿❭➔✪Þ, ý❿❭➔★✪Þ. é▼✧❿➬✵✺, ✘❺❨➃✒, ×ø✘ ➬✵✺, ✞➌⑨❦❥t ✹✎✜④✘➬✵✺. ✎✌Ó❷, ➲➣Ò❿✘➬❭➔★ ✪Þ, ✇➬e1, ￾➃❐➨➪✸ø④❁❨, ➨e1❨➬❁❥és ò❋❻■, Ò⑧➉ ⑨és ❋✓⑦④❻■. ❖➃e1 ✹❭➔✪Þ, ➘✶③t④❨➬❻■❐e1 ✹✒❺ ④. ✌é➉✘✣✽✲➙④▼✧, ➬④★✧✹✘✣, ➬④✛✧❿➹❥➬. Ù✧ ➨✱❨✘➎❐★✧✒❺④✛✧❿➹❥➬, ￾➃Ù➙❿✘➬✹de1 ds , ➬✹❳q❭ ❤➼④. ❸➉✸ø④➤❸, ➲➨❨➬✵✺④❭➔✪Þ✇✮e2, ￾➃➬Ò✹ke2, ý✱✶❯➘ de1 ds = ke2. (3.3) e2✹Ù➙✘✣✛✧, ➲➣✇➬➃❒✛✧(principal normal), ✌k❨➬❁❥➛➨ ➪④❁♦✘ø, ✇✮▼✧④▼●. ➘✶✙ó, ➲❿✘➬★✧④✵✺❩✘➬❒ ✛✧✵✺. ó➤➅✽✲Ò❿☞✐✘➬✵✺❐❨Ü➬✵✺✒❺, ➲➣✴➒✇ ➬binormal. ✎✌Ó❷, ❄ó☞✐✘➬✛✧, ➘✶➬❿Ü➬✛✧. ￾➃❨Ü➬ ✛✧➘➘④➨➪Ò✹✛➨➪. ▼✧✹1➅④, ★✧✹1➅④, ➘✶✛✧✹2➅④, ✹➬➨➪. ￾➃❿✘➬e3 = e1 × e2 , Ù➙e1 × e2 ✹✪Þè. é➉Ü➬✵✺④ ➏, ❿✘➬❤➼④➅➤➬✵✺✹❐➬➣✒❺④, ❄✪✫③e1, e2, e3➘✘➬t ❜ø✿. ➲➣✧➼❨➬✽✲✹➼✺④, ➁❈, ✫❈Ñ❿✘➬❤➼④✵✺. ✴ ➒➲➣Ñ⑦➁❈, ➘✶Ò❿✘➬❤➼④e3✇✖ (ei , ej ) = δij . (3.4) 2