因此在研究三维几何的时候,这样的三个互相垂直的单位矢量所成的图形 非常要紧.这是为什么呢?这样一个东西我叫它标架.你把一个标架搬到另 个标架的运动是完全确定的.那么三维空间最要紧的性质就是三维空间 的运动.我们要研究的几何性质是经过运动不变的.所以就要知道什么时候 你可以把这个东西搬到另外一个位置,什么时候它的位置相差在于一个运 动,而标架就是这个运动解析的表示的方法.你要能够搬过去就表示这个标 架搬到另外一个标架的运动是完全确定的.显然,只有一个运动并且一定 有一个运动把一个标架变为另外一个标架.因为要研究空间经过运动不变 的性质,所以解析的方法就是利用标架.那么假使我现在有一条曲线,我不 只有一个标架,这些标架是时间的函数,在那里运动.因此e;这三个作为标 架的矢量都是时间t的函数,于是我可以求它的微分盘.盎是个矢量因为 是(e1,e2,e3)是个标架,所以任何一个矢量就可以写成e1,e2,e3这3个矢量的 线性组合.那么我把它稍微曲广一点,就把它写成de等于e的线性组合 dei wii ek 这个组合的系数是一次微分式,这是因为我现在做了一下微分,由这函数便 得到一次微分式,那么这样的一次微分式我叫它山,这就表示两个相邻的 标架的关系.你有一个e1的标架,旁边有个相邻的标架e1+de,那么de;表 为e1的函数的时候,它的组合的系数就是一次微分式.;是一次微分式,在 这里,我的指标,都是从1到3,3是我们空间的维数,所以一共有9个 i,每一个从1到3,所以一共有9个.这9个一次微分式是有关系的,它不是完 全任意的.这个关系就是 所以假使你把心看成一个3×3的方阵的元素的话,这个方阵是反对称的 这一组方程很容易从e,e的内积等于b得到:把这个关系(方程(34)微分 的话,就立刻得到这一组性质.这就是说()是一个3×3方阵的元素,这 个方阵的元素都是一次微分式,并且这个方阵整个是反对称的,换句话说, 这个方阵主角线上的元素是0.其它呢,由于反对称,有12=-u21等,是反 对称的.因此我们现在有一个单位切矢量,有一个主法矢量,还有一个与它❖✩óÏ➘➤➅✁❬④✣⑧, ❨ø④➤➬➄★✒❺④❭➔✪Þ➘➘④❈♦ ✿➒✞➏. ❨✹➃✤➃✑Ú❨ø✘➬➚Ü➲✇➬✮✪. ✜➨✘➬✮✪➶t☞ ✘➬✮✪④ä➘✹q❭❤➼④. ￾➃➤➅✽✲✦✞➏④✉➓Ò✹➤➅✽✲ ④ä➘. ➲➣✞Ï➘④✁❬✉➓✹➨✱ä➘❳★④. ➘✶Ò✞⑧✇✤➃✣⑧ ✜✱✶➨❨➬➚Ü➶t☞✐✘➬➔➌, ✤➃✣⑧➬④➔➌★❿ó➉✘➬ä ➘, ✌✮✪Ò✹❨➬ä➘❽Û④✱✰④✵✛. ✜✞✕ê➶✱❱Ò✱✰❨➬✮ ✪➶t☞✐✘➬✮✪④ä➘✹q❭❤➼④. ✗❧, ➄❿✘➬ä➘❄✪✘➼ ❿✘➬ä➘➨✘➬✮✪★➃☞✐✘➬✮✪. ❖➃✞Ï➘✽✲➨✱ä➘❳★ ④✉➓, ➘✶❽Û④✵✛Ò✹➻⑦✮✪. ￾➃✧✫➲✙ó❿✘✣▼✧, ➲❳ ➄❿✘➬✮✪, ❨❏✮✪✹✣✲④❁❥, ó￾➦ä➘. ❖✩ei❨➤➬✯➃✮ ✪④✪ÞÑ✹✣✲t ④❁❥, ➉✹➲✱✶❋➬④❻■dei dt . dei dt ✹➬✪Þ. ❖➃ ✹(e1, e2, e3)✹➬✮✪, ➘✶⑧❬✘➬✪ÞÒ✱✶❯➘e1, e2, e3❨3➬✪Þ④ ✧✉✜❭. ￾➃➲➨➬ã❻▼✒✘➎, Ò➨➬❯➘dei⑧➉ej④✧✉✜❭: dei = ωijek. (3.5) ❨➬✜❭④ø❥✹✘✬❻■✯, ❨✹❖➃➲✙ó✮ê✘✆❻■, ❸❨❁❥✧ ③t✘✬❻■✯, ￾➃❨ø④✘✬❻■✯➲✇➬ωij , ❨Ò✱✰Ü➬★ù④ ✮✪④✞ø. ✜❿✘➬ei ④✮✪, ❦✣❿➬★ù④✮✪ei + dei , ￾➃dei ✱ ➃ei④❁❥④✣⑧, ➬④✜❭④ø❥Ò✹✘✬❻■✯. ωij ✹✘✬❻■✯, ó ❨➦, ➲④➁✮i, jÑ✹✱1 t3, 3 ✹➲➣✽✲④➅❥, ➘✶ωij ✘á❿9➬: i, j ➎✘➬✱1 t3, ➘✶✘á❿9➬. ❨9➬✘✬❻■✯✹❿✞ø④, ➬❳✹q ❭⑧❄④. ❨➬✞øÒ✹ ωij + ωji = 0. (3.6) ➘✶✧✫✜➨ωij ✗➘✘➬3 × 3 ④✵❥④➹↔④➏, ❨➬✵❥✹✬é➪④. ❨✘✜✵➬✐➂✹✱ei , ej ④✓è⑧➉δij③t: ➨❨➬✞ø(✵➬(3.4))❻■ ④➏, Ò➪✴③t❨✘✜✉➓. ❨Ò✹⑨(ωij ) ✹✘➬3 × 3 ✵❥④➹↔, ❨ ➬✵❥④➹↔Ñ✹✘✬❻■✯, ❄✪❨➬✵❥r➬✹✬é➪④, ➛é➏⑨, ❨➬✵❥❒♥✧Þ④➹↔✹0. Ù➬✑, ❸➉✬é➪, ❿ω12 = −ω21⑧, ✹✬ é➪④. ❖✩➲➣✙ó❿✘➬❭➔★✪Þ, ❿✘➬❒✛✪Þ, ↕❿✘➬➛➬ 3