们垂直的成一个标架的e3=e1×e2(矢量积).对于这个标架,我把它的三个 方程都对弧长求函数(微分),就可以把这个函数表为e1,e2,e3的一个线性组 合.这个组合是这样的一组方程:第一个方程是de1=ke2.因为我们的方阵 是反对称的,主对角线上的元素都是0,所以13=0.但是其他的元素要注 意e3的位置,由于e1,e2选择的关系,u13是等于0的.因此31也等于0.所以 这个方阵写出来,就是我下面的3个方程 de d ke1+we3 这组方程是当年曲线论发展的时候最早的一组方程.我们通常叫它 Frenet 方程, Fren et是法国的一个数学家.我想这是他的的博土论文.他不一定是 头一个给出这个方程,当时有几个人做出这个工作.从我讲的,你们可以看 出来得这个方程并不太困难.因此我除了曲率以外,还有另一个函数u 就是方程中的挠率( orison),也是弧长的函数,是表示空间的曲线在运动群 下的性质.所以空间曲线有两个函数,一个是曲率,另一个是挠率,挠率就是 描写它怎么样不是一条平面曲线,它是在空间弯曲的一个量.所以空间曲线 是用两个函数来描写的,它们解析地描写这空间的性质.这两个函数显然很 重要,因为它们要是等于0的时候,就表示了曲线很简单的性质.要是k=0 的话,这曲线就成为直线这很容易证明,我下面给出证明:因为k=0,所 以de1=0.因此单位切矢量e1是一个常数,因为这样它的微分才等于0.那么 你把这个常数e1=C代入到e1=中,再把它积分一下子就得到x是s的 次函数 C (38) 所以这就是一条直线反过来也很容易能证明如果你有一条直线的话,它的 曲率k是等于0的.因此k=0代表曲线的最简单的性质,就是直线.那么要 注意的是在定挠率的时候,一定要k≠0.若是k=0的,于是当=0.也就 是直线了.这时它就没有法子定主法线.一条直线跟它垂直的是一个平面,➣✒❺④➘✘➬✮✪④e3 = e1 × e2(✪Þè). é➉❨➬✮✪, ➲➨➬④➤➬ ✵➬Ñé➀➓❋❁❥( ❻■), Ò✱✶➨❨➬❁❥✱➃e1, e2, e3 ④✘➬✧✉✜ ❭. ❨➬✜❭✹❨ø④✘✜✵➬Õ➅✘➬✵➬✹de1 = ke2. ❖➃➲➣④✵❥ ✹✬é➪④, ❒é♥✧Þ④➹↔Ñ✹0, ➘✶ω13 = 0. ❜✹Ù➷④➹↔✞Õ ❄e3④➔➌, ❸➉e1, e2 ➔✡④✞ø, ω13 ✹⑧➉0④. ❖✩ω31 ✎⑧➉0. ➘✶ ❨➬✵❥❯ñ✉, Ò✹➲✆➪④3➬✵➬: de1 ds = ke2 de2 ds = −ke1 + ωe3 (3.7) de3 ds = −ωe2 ❨✜✵➬✹❤★▼✧❳✕✵④✣⑧✦￾④✘✜✵➬. ➲➣✴➒✇➬Frenet ✵➬, Fren et✹✛✮④✘➬❥➛✛. ➲✳❨✹➷④④❋✱❳➞. ➷❳✘➼✹ ❃✘➬➱ñ❨➬✵➬, ❤✣❿✁➬⑤✮ñ❨➬Ó✯. ✱➲❨④, ✜➣✱✶✗ ñ✉③❨➬✵➬❄❳Ô❤✡. ❖✩➲øê▼●✶✐, ↕❿☞✘➬❁❥ω. ω Ò✹✵➬➙④☞●(torison), ✎✹➀➓④❁❥, ✹✱✰✽✲④▼✧óä➘❦ ✆④✉➓. ➘✶✽✲▼✧❿Ü➬❁❥, ✘➬✹▼●, ☞✘➬✹☞●, ☞●Ò✹ ➹❯➬✍➃ø❳✹✘✣➨➪▼✧, ➬✹ó✽✲❦▼④✘➬Þ. ➘✶✽✲▼✧ ✹⑦Ü➬❁❥✉➹❯④, ➬➣❽Û➃➹❯❨✽✲④✉➓. ❨Ü➬❁❥✗❧✐ ➢✞, ❖➃➬➣✞✹⑧➉0④✣⑧, Ò✱✰ê▼✧✐❀❭④✉➓. ✞✹k = 0 ④➏, ❨▼✧Ò➘➃❺✧. ❨✐➂✹②Ò, ➲✆➪➱ñ②ÒÕ❖➃k = 0, ➘ ✶de1 = 0. ❖✩❭➔★✪Þe1✹✘➬➒❥, ❖➃❨ø➬④❻■❜⑧➉0. ￾➃ ✜➨❨➬➒❥e1 = C❙➐te1 = dx ds➙, ò➨➬è■✘✆✝Ò③tx✹s ④✘ ✬❁❥Õ x = Cs. (3.8) ➘✶❨Ò✹✘✣❺✧. ✬✱✉✎✐➂✹✕②Ò➌✯✜❿✘✣❺✧④➏, ➬④ ▼●k ✹⑧➉0④. ❖✩k = 0 ❙✱▼✧④✦❀❭④✉➓, Ò✹❺✧. ￾➃✞ Õ❄④✹ó➼☞●④✣⑧, ✘➼✞k 6= 0. ➙✹k = 0 ④, ➉✹de1 ds = 0, ✎Ò ✹❺✧ê. ❨✣➬Ò➊❿✛✝➼❒✛✧. ✘✣❺✧❐➬✒❺④✹✘➬➨➪, 4