其中， H)=u2+2+o)F22-2(ur+yB+@Y)F,2+(a,+B2+y2)F F,11Fg202-F,102 (30) H2)=r2+52+t2 (31) (30)和(31)两式的符号如下， V= Fx2:Fyz1Fy FF2201 Fx21 Fx2 Fy: 。Fy2Fz2Fz2'Fxa 0= B= Y= Fx20:Fy2a2,Fy202F2202,F2282Fx2e2, ra=Fx2x2F3a-2Fx2Fy2Fxay2+Fyay2Fi S2=Fy2y:Fi2-2Fy2F::Fy2z2+F22z2F2 t:=F2iz2F22-2F:2Fx2F:x2+Fx2x2F32 证设二次包络面∑，的第一、二基本量分别为E2、F2、G2和L2、Mz、N:,有【11 2H2)=E2N2-2F2M2+G,L2 E2G2-F 当F,1,:F2:-F,12中0时，∑的方程(20)在P点的某邻域内确定单值可微函数 z2=f(x2,y2,22),把它再代回(20)得恒等式，从中求出基本量代入2H()的表达式 即可得证。 为了应用(29)，下面我们来求出(30)和(31)两式中曲面族函数F(x2,y2,22, 中1，日z)的各阶偏导数。 定理6曲面族函数对相应坐标的二阶偏导数都是二次型，且有 Fx2x2=a1 QaT,Fxy:=81Qa2T, Fx:22=a1 QagT,Fyi:2=a:QaaT, (32) 其中，【10 Fy2y2=a:Qa2T,F:2:2=ag QagT, a11a12a13 fxaxa fxava fxaz2 a =a21 a22 a23=MT(02)AT()Q=fy:x:fyay:fy:z2 asa3i aaz a33 fz2x2 fzay2 fz222. 证由(26)有， Fx2=fx2a1+fyaai:+fzaa13 上式再对x2求偏导数，得 Fx2x2=a(aiifxax:+aiafxzy:+aiofxana)+ +aiz(alifyax2+ar2fyay2+aisfy2z2)+ +ai3(alifz2x2+al2fzay2+a13fz2z2) 有 Fx2x2=alifxax2+2a1alafxay:+2a1a1sfx2z2+ +aiafyay2+2a12a13fy2z2+aisfz2z: 85其中 ， 念 士。 “ 。 ， 一 日 。 丫 ， 日 ’ 丫 ’ ， 甲 一 甲 里 荟 和 两式的 符 号如下 二二 … ， ， 共 ， … 共 日 … 甲 汽 … … 帕 丫 二 ’ 一 了 ， 犷 。 ’， 冲阵 孚、 一 ， ， ， ， 里 ， ， 里 一 ， ， 要 三 孟 一 孟 证 设二次 包络面 艺 的第一 、 二 基本量 分别 为 、 、 和 、 、 ， 有 石自魂 一 当 。 一 ， 笋 。 时 ， 一 艺 的方程 ， ， 即可得证 。 为 应 用 ， ， 把 它再 代 回 得 恒等式 ， 在 尸点 的某邻域 内确定单 值可 微 函数 从 中求出 基本量 代入 《 “ 》 的表达式 下 面我们来求出 和 两 式 中曲面 族 函数 ， 的 各阶偏 导数 。 定理 曲面 族 函数对 相应 坐标 的二 阶偏 导数都是二次型 ， 且有 争 卜 ‘ 一卜 丁 ， 》 叫卜 ， 叫卜 【 二 ， ， 二 ， ， ， 叫卜 一卜 ， ， 一卜 。 ， 、 斗 ， ， 、 。 ，、 、 ， 。 二 ， ， ， ， 证 上式再对 由 有 求偏 导数 ， 得 ， ， 一 ， ， 。 ， 。 一 一 有 圣 ， 艺 ‘ ， ， 。 受 ， ， ， ， 全 价