8x18x18x1 cos0 Cos02 gin cos02 gin02 8x2 Oy2 8Z2 M(0:)= 0y10y40y= cos0 sin02 gin0 sin02-cos02 (24) 8x28y28z2 8Z1 0Z1 0Z1 -in0, -co80 8x20y:8z2 0 同理，M(,)为一个满秩的三阶正交方阵。 在(20)中的曲面族函数F(x2,y2,22,p1,02),是一次包络时的母面函数f(x2, y2,z)经两次坐标变换，即把（3)和(21)代入而得到，故有 F(x2,y,z2,p2,92)=f{x:〔x1(x2,y2,z2,02)…,p1,…} .(25) 定理4曲面族函数对相应坐标的偏导数的平方和是坐标变换不变量，且有 F,+F:+F=f2+f2+f2(i=1或2) 证母面函数f(x2,y2,z:)经一次坐标变换时，结论已为定理2所证明。下面证明 经两次坐标变换时，结论为 F2+F好2+F2=f2+fz+f:2 事实上，由(25)对x求导数，有 Fx2=f2(9x2.8x上+8x.y1+x.0z1)+ 0x10x28y!8x20z10x2 +fv:(9x2.0x1+y2.y!+8y2.21)+ 0x10xz0y10x28z18x: +f(月：.8x1+.y+0肥2.1) (26) 0x10xz8y18x&0z10x2 (26)右边()内的每一项皆两个偏导数之积，它们分别由（6)和(24)求出。仿此可 写出Fy和F,2,可得 Fx2 fx2 :Fy2=MT(:)AT()ify2 (27) Fz2j fz2 有 Fz2 fx F::+F:+F1:=(Fx2,Fy2,F:)Fy2=(MTAT fy2)T.MTAT fy2 F22 fz2i f22 所以 .fxa Fi2+F2+F2=(fx2,fy2,f22)AMMTATIfy2 (28) [z2 由于MMT=E,AAT=E,代入(28)即可得证。 一般的，如果母面函数f(x2,y2,zz)经n次坐标变换，(27)就有2n个正交矩阵相 乘，而(28)是4n个正交矩阵之积，结果为单位矩阵，故定理得证。 定理5设F,1,1F。22一F:12≠0，则二次包络面的平均曲率H(2)为 2H(2)= H2}-H2) (F2+F2+F2)37元 (29) 81日 厉牙 ‘ 旦工二 一 ， 一 ” ‘ “ 鱼上… 。 一越 一 苗 一 哪 一 成 一 氏 贾 百心万矛 一 … 同理 ， 为一个满秩 的三 阶正 交方 阵 。 在 中的 曲面 族 函数 ， ， ， 甲 ， ， 是一次 包络 时的母面 函数 ， ， 经 两次坐 标 变换 ， 即把 和 代入 而得 到 ， 故有 ， ， ， 甲 ， 〔 ， ， ， … … ， 甲 ， 〕 ， … … 定 理 曲面族 函数对 相应 坐标 的偏 导数的平方 和是坐标变换 不 变量 ， 且有 里 ‘ 要 ‘ 之 ‘ 类 票 里 或 证 母面 函数 ， ， 经一 次坐标变换 时 ， 结论 已为定理 所证 明 。 下面证 明 经 两次坐标变换 时 ， 结论为 孟 委 二 二 考 二 事实上 ， 由 对 求 导数 ， 有 ， 。 口 ， 日 一 、 几 ， 一 、 － 卜 － ， 一 － － ，尸 一 － ， 一 ， 口 口 日 口 、 ‘一 ‘会 ‘ 一 ‘骼 一丛 旦里里 多红 里全 、 旦圣上 口 口 口 一 口 口 ， － 宁 口 －口 渔工生 口 鱼 上 口 ’ 日︸ 右边 内的每一项 皆两 个偏 导数之积 ， 它们 分别 由 和 求出 。 仿此 可 写 出 ， 和 ， 可得 才 二 甲 ， 有 二几奋互口月 里 委 二 ， ， ， ， 一 ， 」 〕 · 了 ， 所 以 柔 要 了 二 ， ， ， 由于 ， 了 ， 代入 即可 得证 。 一 般的 ， 如 果母面 函 数 ， ， 经 次 坐标 变换 ， 就 有 个正 交 矩 阵相 乘 ， 而 是 个正 交 矩 阵之积 ， 结果 为单位 矩 阵 ， 故定理得证 。 定 理 主健 了， ， ， 一 铸 ， 则二次 包络面 的 平均 曲率 为 摊 幻 里 要 孟 “ “ 别 笼