教学内容释疑解难 第2章 设z=x+iy,证明imn(2x+iy2)=4i 证明:因为|2x+iy2-4ik2|x|+|y2-4=2|x|+|y-2‖y+2| 所以若能找到正数d,使得0<-2ikd时,有 2|xk5,|y-2|y+2k5 则可推出结论 我们观察,当|y-2k1时,有 ly+2|y-2|+4<5 从而在y-2kmin{,1}时 ly-2‖y+2k:5 E 再观察图2.1中,在xk E 4·1y-2kmin{1n的带形域中,δ只好取和min{0中的 较小者,即d=min{}从而, 对任意给定的E>0,存在正数d=min{,1}, 当04z-2ik<δ时, 1 2x+iy -4ika 成立,即lim(2x+iy2)=4 图2.1 2.证明当0不取到负半实轴和原点时有 lim 证:设z=x+iy,z0=x0+1y,W= cosar,则 arg == arccos= arccos (0≤argz≤π), arg =o = arccos Ro lim arccos教学内容释疑解难 第 2 章 1. 设 += i yxz , 证明 i4)i2(lim . 2 i2 =+ → yx z 证明：因为 |2||2|||2|4|||2|i4i2| , 2 2 yx yx yyx +−+=−+≤−+ 所以若能找到正数δ ，使得 < − iz |2|0 < δ 时，有 2 |2||2| , 2 ||2 ε ε yyx <+−< 则可推出结论. 我们观察，当 时，有 y <− 1|2| yy +−≤+ < 54|2||2| , 从而在 }1, 10 min{|2| ε y <− 时， 2 5 10 |2||2| ε ε yy <⋅<+− . 再观察图 2.1 中，在 }1, 10 min{|2| , 4 || ε ε yx <−< 的带形域中，δ 只好取 }1, 10 min{ 4 ε ε 和 中的 较小者，即 }1, 10 min{ ε δ = .从而， 对任意给定的ε > 0，存在正数 }1, 10 min{ ε δ = ， 当 z |i2|0 <−< δ 时, |i4i2| <−+ ε 2 yx 成立，即 i4)i2(lim . 图 2.1 2 i2 =+ → yx x 2. 证明 当 z0 不取到负半实轴和原点时有： 0 argarglim0 zz zz = → . 证： 设 wyxzyxz argcos ,i ,i z +=+= 000 = ,则 22 arg arccos arccos yx x wz + == ≤ z ≤ arg0( π ) , 2 0 2 0 0 0 arg arccos yx x z + = . Q 2 0 2 0 0 22 0 lim yx x yx x zz + = + → ， ∴ 2 0 2 0 0 22 arccoslim arccos 0 yx x yx x zz + = + →